一个不等式的应用举隅

安徽省霍邱县第一中学 (邮编：237400)

一个不等式的应用举隅

安徽省霍邱县第一中学冯克永(邮编：237400)

不等式ex≥x+1

(1)

(其中e=2.71828…是自然对数的底数(下同))等号当且仅当x=0时成立.

(来源：人教A版选修2-2第32页B组第1题第3小题：ex>x+1,x≠0).

证明作差构造函数f(x)=ex-x-1，则f′(x)=ex-1，由f′(x)=0得x=0.当x∈(-,0)时，f′(x)<0，当x∈(0,+)时，f′(x)>0.所以f(x)≥f(0)，即ex≥x+1，等号当且仅当x=0时成立.

当x+1>0时，对不等式(1)两边取自然对数得ln(x+1)≤x，

(2)

等号当且仅当x=0时成立.

笔者经过研究发现，应用不等式(1)及其变形(2)可简便地证明含有ef(x),lnf(x)的不等式.

点评不等式是深刻认识函数的重要工具，二者结合是近几年高考命题的新热点.第(1)小题是常规的导数题易解决，第(2)小题利用常见不等式ex≥x+1及加法运算化整体为局部，再利用第(1)小题的结论，取a=2放缩传递是神来之笔，很值得回味.试题命制一般遵循设问之间的连贯性，在后问“山穷水尽”之时，前问(有时即使未解决，用其结论也可以)往往会带来“柳暗花明”之喜，这应引起我们的高度重视.

2017-03-19)