坐标旋转理论在齿轮教学中的应用

陈紫微

摘 要：在机械原理教学中，渐开线齿轮的展成运动是教学重点。基于坐标旋转理论，根据齿轮展成加工的运动原理，分别建立齿坯，刀具、全局坐标系及各坐标系之间的关系。通过Excel绘制刀具移动轨迹模拟齿轮加工的展成运动，生成所需的齿轮渐开线。该方法能更生动准确的描述齿轮展成运动，对学生的深入理解有很大的帮助。

关键词：渐开线齿轮 展成运动 坐标旋转

中圖分类号：TH17 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2017）06（b）-0190-02

齿轮传动是机械传动中应用最广泛、最常见的一种传动形式[1]。齿轮按齿廓曲线，可分为渐开线、摆线、圆弧线、双圆弧线齿轮等。而其中渐开线圆柱齿轮运用最为广泛，也是机械原理教学中的重点部分。

1 常用齿轮加工方式

常用的齿轮加工方式是插齿或者滚齿，插齿时，插齿刀和被加工齿轮按一定的速比转动，切出整圈齿轮的齿形、插齿刀的切削往复运动，切出全齿轮宽度的齿；滚齿时，滚刀和被加工齿轮按一定的速比转动，在齿轮的端截面上连续加工出整圈的齿，滚刀沿着齿轮的轴心线方向进给，加工出全齿轮宽度的齿。

综合可知，这两种加工方式均可利用假想齿条和齿坯的展成运动模拟。齿条沿着齿坯的切向移动，同时齿坯按照一定的速比转动，即可加工出齿轮的齿形。

2 渐开线曲线计算

如图1所示，过基圆中心与齿槽中心连线为y坐标，建立相对应坐标系xoy。

3 坐标转换原理

（1）建立在刀具坐标系（xt，yt）及系统全局坐标系如下所示，刀具上任一点的坐标为（xti，yti）。其在全局坐标系（x，y）下中的坐标参数为（xi，yi）。

由刀具的运动可知，此时随着刀具向左移动，其自身坐标系也随着向左移动，而此时全局坐标系保持不变，如图2所示，当刀具移动距离为时，有以下转换关系：

由公式（6）可知，将刀具在其坐标系的位置转换到对应的齿轮坐标系中，刀具的轮廓就是齿坯中材料去除的部分，剩下的部分即为所需的渐开线齿轮。通过这样的方式获得的就是渐开线齿轮齿廓，而刀具相对于齿轮运动即为齿轮加工的展成运动。

4 齿轮展成加工模拟实例

依然以上文提到的齿轮为例，其滚刀参数设计如下：Mn0=2.65， an0=22.5 ，hap0=3.77，

rhoap0=0.777，prp0=0， hFap0=3.29，hfp0=2.89

实际带圆角刀具如图4所示。

对实例刀具，其ai变化范围为202.5°～270°，在过渡圆弧上取一定数量的点模拟该段曲线的形状。令变化范围从-40°到40°，步长为5°，按上述相同方法依次将刀具各个参数按公式（6）转换到齿轮坐标系中 。比较得其与理论渐开线吻合，这证明该方法的准确性。该方法对于复杂刀具同样适用。

5 结语

利用坐标转换理论可以很清晰准确的模拟渐开线齿轮展成运动，在机械原理齿轮部分基础教学中，可以给学生更直观的认识，在刀具的复杂形状加工中也适用，所以该方法可用于齿轮刀具设计及加工领域。

参考文献

[1] 齿轮手册编委会编.齿轮手册[M].2版.北京：机械工业出版社，2000.