带有补偿环节的串并联混合型飞行模拟器指令分配方法

王晓晨 陈维山

摘 要：提出了一种串并联混合型飞行模拟器，该模拟器结合了串联机构和并联机构的特点，能够实现高动态大角度机动飞行的运动仿真。针对所提出模拟器的指令分配问题，首先基于伪逆和梯度投影法给出了带有加权的速度层最优解。然后针对各个关节的物理约束，基于二次分配的思想设计了补偿环节，使得当某一个关节指令的速度或加速度超限时，可以利用其它未超限的关节进行补偿，这也使得模拟器能够模拟更高动态的运动。给出的指令分配算法能保证在获得期望位姿指令的同时，避免运动学奇异，同时还能充分发挥系统各关节的驱动能力。

关键词：大角度机动；飞行运动仿真；运动学奇异；指令分配；

DOI：10.15938/j.emc.2017.07.000

中图分类号：TP273 文献标志码：A 文章编号：1007 -449X（2017）07-0000-00

Command assignment method with compensation unit for a serial-parallel hybrid flight simulator

WANG Xiao-chen1，2，CHEN Wei-shan2

（1. Department of Automation， Harbin University of Science and Technology， Harbin 150080， China

2. State Key Laboratory of Robotics and System， Harbin Institute of Technology， Harbin 150080， China）

Abstract： A serial-parallel hybrid flight simulator was proposed to implement high dynamic and large-angle maneuvering flight simulation. The simulator combines the characteristics of series manipulator and parallel manipulator. For command assignment problem of the serial-parallel hybrid flight simulator， pseudo-inverse and gradient projection methods were used to obtain optimal solution with weighted at the velocity level. Then， a compensation unit of velocity and acceleration was designed for the compensation of the joint velocity and acceleration saturation. The compensation unit based on the velocity and acceleration redistribution was designed. When some of the joint velocities or accelerations are in saturation other joints compensate for the lack of the velocity or acceleration. Thus， this simulator can implement higher dynamic flight simulation. The proposed command assignment algorithm achieved desired position and attitudes， avoid kinematics singularity， as well as drive ability of the each joint is fully utilized.

Keywords： large angle maneuvering； flight motion simulation； kinematic singularity； command assignment

0 引 言

隨着航空航天技术的发展，高动态、大角度机动飞行动作开始在飞行器的使用中出现，例如战斗机做快速大角度的翻转运动，导弹做快速大角度机动。另外，现代舰载防空导弹的垂直发射系统，以及航天器在外太空的复杂运动等等，均要求飞行器姿态在整个空间内快速变化[1-2]。因此，实现高动态大角度机动飞行的半实物仿真具有重要的现实意义。

在飞行器的运动仿真中，三轴转台是最常用的仿真设备，但是三轴转台的两个轴重合时会发生运动学奇异。比如当卧式三轴转台的中框处于 时，内框轴与外框轴重合，此时负载无法做俯仰运动，因此三轴转台无法应用于大角度机动飞行的运动仿真。四轴转台能利用冗余机构的特点，避免运动学奇异，从而能够模拟大角度机动飞行[3]，但是由于四轴转台同样属于串联机构，尤其是外框的转动惯量非常大，这使得对负载的驱动能力非常有限，因此对于一些高动态的姿态运动则很难实现。

与串联机构相比，并联机构结构紧凑、刚度高、承载能力大，因此动态响应能力好。但是与串联机构相比，并联机构的工作空间非常小[4-8]。本文提出一种串并联混合型飞行运动模拟器，发挥串联机构和并联机构各自的特点，利用并联机构实现高动态的六自由度运动，通过串联机构实现大范围低动态的姿态运动，同时由于该飞行模拟器属于冗余自由度机构，因此能避免运动学奇异。

本文针对该串并联混合型飞行模拟器的指令分配问题，首先基于伪逆和梯度投影法给出了带有加权的速度层最优解。然后针对各个关节的物理约束，基于二次分配的思想设计了补偿环节，使得当某一个关节指令的速度或加速度超限时，可以利用其它未超限的关节进行补偿，这也使得模拟器能够模拟更高动态的运动。提出的算法能保证在获得期望位姿指令的同时，避免运动学奇异，同时还能充分发挥系统各关节的驱动能力。

1.1 相关定义

本文提出的飞行模拟器由一个卧式三轴转台和一个6-UPS并联机构组成，如图1所示。并联机构的固定平台与三轴转台的内框轴固联。并联机构的固定平台与动平台之间通过6个可以伸缩的连杆连接，如图2所示。动平台与连杆通过球铰连接，固定平台与连杆通过胡克铰连接。如图3所示，固定平台和动平台的铰链点分布位于半径Ra和Rb的圆周上，对称分布，每相邻两个铰链夹角之和为120°。飞行模拟器的负载安装在动平台上。由于飞行模拟器共有9个运动关节，可以实现6个自由度的运动，因此属于冗余自由度机构。

图1 串并联混合型飞行模拟器

Fig. 1 Serial-parallel hybrid flight simulator

图2 6-UPS并联机构

Fig. 2 6-UPS parallel manipulator

图3 6-UPS并联机构动平台和固定平台的关节分布

Fig. 3 Arrangements of the joints on the fixed platform and moving platform of 6-UPS parallel manipulator

三轴转台的初始位置如图1所示，建立参考坐标系 ，原点O在转台三个回转轴的交点， 轴沿水平方向与滚转轴重合， 轴沿垂直向上与偏航轴重合， 轴与俯仰轴重合，三轴相互垂直成右手坐标系。

建立与并联机构动平台固联的动坐标系 ，原点 在动平台中心， 轴是角a1Oaa6的角平分线， 轴垂直于平台，坐标轴相互垂直成右手坐标系。初始位置状态下，坐标系 与坐标系 重合，方向一致。

建立与并联机构固定平台固联的坐标系 ，坐标系原点 在固定平台中心， 轴与角b1Obb6的角平分线重合， 轴垂直于固定平台，三轴相互垂直成右手坐标系。初始位置状态下，坐标系 与参考坐标系 平行且方向一致。

建立与坐标系 平行的坐标系 ，原点 与参考坐标系原点O重合。初始位置状态下，坐标系 与参考坐标系 重合。

定义向量 ，表示并联机构动平台中心点 在参考坐标系下坐标。动平台在参考坐标系下的姿态由坐标系 相对于参考坐标系OXYZ的欧拉角来表示，坐标系旋转顺序依次为绕 、 、 ，相应的欧拉角为 、 、 。定义动平台位姿向量 ，用以描述并聯机构动平台在参考坐标系下的位置和姿态。对应的方向余弦矩阵如下：

， ， 。

定义矩阵

（1）

定义向量 ，表示并联机构动平台中心点 在坐标系 下坐标。动平台在坐标系 下的姿态，由坐标系 相对于坐标系 的欧拉角来表示。坐标系旋转顺序依次为绕 、 、 ，相应旋转的欧拉角为 、 、 。定义位姿向量 ，用以描述动平台在坐标系 下的的位姿。

对应的方向余弦矩阵如下

， ， 。

。 （2）

三轴转台外框、中框、内框轴旋转的角度分别为 、 、 ，对应的方向余弦矩阵如下

， ， 。

。 （3）

根据前面的相关定义以及各坐标系的运动学关系，有下面表达式成立

， （4）

。 （5）

通过矩阵 可得到相应的欧拉角为 、 、 。定义关节空间坐标 。

1.2 运动学正解

通过矩阵 可得到相应的欧拉角为 、 、 ，即

（6）

当 时，

。 （7）

很显然上面的方程（7）出现奇异，这个问题可以通过下面的双欧拉法解决。

由文献[9]可知，当坐标系 相继绕 、 、 顺序旋转，可以得到相对应的反欧拉角，即 、 、 。反欧拉角的奇异点为 （即在 和 位置），所以正、反欧拉角的奇异性呈互补关系。利用正、反欧拉角的这一性质，如图4所示，在 范围内划分不同的区域，图中阴影区域，即当 和 时，为反欧拉角应用区域，其它区域为正欧拉角应用区域。通过以上区域的划分，避开了正、反欧拉角的奇异点，从而解决了欧拉角计算的奇异问题。反欧拉角的计算表达式如下

（8）

图4 正欧拉角与反欧拉角的区域

Fig. 4 Area distribution for the ordinary and the reversed Euler angles

目前6-UPS并联机构运动学正解没有解析解，只能通过数值方法求解[10]。

2 串并联混合机构的指令分配

2.1 指令分配问题

当飞行模拟器关节空间的坐标 确定时，其任务空间的坐标 存在且唯一。由于该飞行模拟器是一个冗余机构，因此当给定任务空间坐标 时，关节空间坐标 则有无穷多组解与之对应。

在应用该飞行模拟器进行仿真实验时，对于给定的6个自由度位姿运动指令 ，如何将其合理地分配到转台和并联机构的9个运动关节，同时还要考虑各个关节的物理约束（如位置、速度和加速度的限制），这属于冗余机构的运动学反解问题。

由于并联机构的六个位姿与六个杆长是一一对应的，因此为了简化问题，这里定义向量 ，即向量 中的每个元素分别对应了三轴转台的外、中、内框的转角和并联机构的六个位姿。当向量 确定时，飞行模拟器的9个关节也唯一确定。由式（4）（5），可以建立任务空间坐标 与向量 之间的关系式，简写成以下形式

。 （9）

将等式两边分别对时间求导，可得

。 （10）

这里 是雅克比矩阵， 。

2.2 规避奇异

对于冗余机构的运动学反解问题，为了避免接近奇异位置，通常是以其速度雅克比矩阵条件数为性能指标，即通过使其最小来实现避免接近奇异位置[11-12]。但是获得雅克比矩阵条件数的梯度函数，计算量很大。对于并联机构，通过合理的设计，可以保证其工作空间内没有奇异位置。而对于三轴转台，当 时，即俯仰轴和滚转轴重合时，三轴转台运动学奇异。所以只要 不发生，机构就能避免发生奇异。针对这一特点构造函数 如下

。 （11）

容易得出，当处于奇异位置时，函数 取最大值1，而机构距离奇异位置最远时，函数 取最小值0。所以为避免接近奇异位置，應使函数 最小。

2.3规避极限位置

运动模拟器每个自由度的运动范围为

， 。 （12）

为了便于处理，这里把各个自由度运动范围的中心视为一个引力场的源，从而构造势函数 ，其具体形式如下

。 （13）

这里 为各自由度运动范围的中间值， 。可以看出，函数 的值越大，则距离极限位置越近，为了使各自由度避免接近极限位置，所以应对各自由度运动范围进行优化，也就是使函数 最小。

2.4基于伪逆的优化求解

如果能同时减小飞行模拟器各关节运动的速度和加速度，则驱动电机的瞬时功率必然降低，或者可以理解为同样功率的驱动电机，可以实现更高动态的运动。综合以上的分析，将系统指令分配问题归结为一个优化问题，其指标函数如下

。 （14）

是加权因子，用于调节对速度和加速度加权的比重。矩阵 和 是对角速度和角加速度的加权阵，其中 ， ，由于每个关节的驱动能力不相同，所以引入矩阵 和 可以充分发挥系统各个关节的驱动能力。

将 代入（14）式中，经整理后可得

。 （15）

这里 ， ， 为微小的时间变化量，实际计算时可用系统的采样周期代替。

对于优化问题（15），利用伪逆可以得到其最优解[13]，如下式所示

。 （16）

这里 ， ， 是矩阵 带有加权的伪逆。考虑到要规避奇异和极限位置，可得到如下优化结果

。 （17）

这里 是标量系数， ， 。式（17）右边的 是方程（10）的特解， 为齐次解。从物理意义上来说，特解确定了工作空间的位姿运动，齐次解确定了零空间的关节自运动。q的轨迹是沿着 梯度下降的方向，因此可以规避奇异和极限位置[14-15]。

定义 ，可将式（17）简写成如下形式

。 （18）

2.5速度和加速度的补偿

飞行模拟器每个关节的驱动能力都有限，这包括关节的速度和加速度，用不等式表示如下

， （19）

。 （20）

这里 、 分别表示各关节速度正向和负向的最大值， 和 分别表示加速度正向和负向的最大值。式（20）可以改写为如下形式

。 （21）

进一步可以得到如下不等式

。 （22）

定义 和

， （23）

。 （24）

定义 和

， （25）

。 （26）

定义各关节速度的超限量 如下

（27）

带有补偿环节的运动学反解表达式如下所示

。 （28）

其中 ，这里行向量 表示矩阵 的第i行，补偿环节只改变零空间的轨迹，不会改变工作空间轨迹。

定义 的矩阵 ，这里k表示发生速度或者加速度超限的关节数量。矩阵 的每一行与超限的关节相对应，并且在矩阵的每一行中，除了与相应关节对应的元素为1外，其它的元素均为0。例如，当飞行模拟器中三轴转台的偏航轴、滚转轴超限，并联机构的俯仰轴超限时，矩阵 如下所示

。 （29）

如前所述，补偿量 必须要能够抵消掉 ，因此有下式成立

。 （30）

矩阵 与向量 相乘的结果即为向量 中超限的那一部分。同样，矩阵 是矩阵 的子矩阵，矩阵 的每一行都与超限的关节相对应。因此可以求得 的最小二范数解如下

。 （31）

这里 。由于矩阵 是行满秩，因此矩阵 是可逆的。

3 仿真分析

飞行模拟器的6-UPS并联机构结构参数如表1所示。

速度极限 加速度极限

如图5所示，给定模拟器工作空间期望的六个自由度运动指令。根据本文给出的指令分配方法进行计算，其中参数的选取如下：

， ， ， ， 。

图6和图7分别给出了没有补偿环节情况下（即 ）各关节指令的速度和加速度。可以看出 超出了其极限值，如果以这个结果作为关节运动的指令，则在工作空间会导致很大的误差。图8-图12给出了带有补偿环节情况下的指令分配结果（即 ）。其中图8和图9给出了各关节指令的速度和加速度。由于使用了补偿环节，各个关节的速度和加速度都没有超出其极限值，同时由于引入了加权阵 和 ，使得转台三个轴的速度和加速度降低。图10为并联机构各连杆的杆长，图11是模拟器各关节的运动指令，图12是该指令分配算法在工作空间的误差。通过仿真验证可以看出，本文提出的指令分配方法是有效的。

4 结 论

为了能实现高动态、大角度机动飞行的运动仿真，本文提出了一种串并联混合型的飞行运动模拟器，并且针对该模拟器的指令分配问题，基于二次分配思想给出了带有速度和加速度补偿环节的指令分配方法。本文给出的指令分配方法，能够在某一个关节指令的速度或加速度超限时，利用其它未超限的关节进行补偿，这也使得模拟器能够模拟更高动态的运动，保证在获得期望位姿指令的同时，避免运动学奇异，同时还能充分发挥系统各关节的驱动能力。本文提出的指令分配方法也可以应用到其它种类冗余机器人的运动学反解。

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