数学出题有讲究

张会初

一、提出问题

湘教版九年级数学（2014年6月第二版）第四章有这样一道练习题：

如图，已知锐角ΔABC中，AB=15，AC∶BC=7∶8，sinA=，又CD⊥AB，垂足为点D，AD=7，求CD的长度。

1.解题思路一

根据正弦定理=，=，由已知得：sinB=sinA=×=，从而∠B=60°，又AB=15，AD=7， 所以BD=8，在RtΔCDB中，=tanB，CD=BDtanB=8tan60°=8。

2.解题思路二

由已知CD⊥AB得∠ADC=90°，在RtΔADC中，=sinA=，设CD=4x，则AC=7x，。

已知AD=7，根据勾股定理：AC2=AD2+CD2

（7x）2=72+（4x）2，解得：x=7，從而CD=28。

两种解法，两个结果，问题出在哪？

二、推导

由AC∶BC=7∶8，可设AC=7x，则BC=8x，因为AD=7，AB=15，可得BD=8。

∵CD⊥AB，∴∠CDA=∠CDB=90°，在RtΔADC和RtΔBDC中， AC2=AD2+CD2，BC2=BD2+CD2，AC2-AD2=BC2-BD2，

∴（7x）2-72=（8x）2-82。

解得x=1，从而AC=7，BC=8。

此时AC=AD，BC=BD，即斜边=直角边。解题思路没问题，说明条件出了问题。

三、探究

设AD为x，则BD=15-x，由sinA=得cosA==。

∵cosA=，∴AC=x，由解题思路一可知∠B=60°。

∵cosB=，∴BC==30-2x，又∵=，∴=，解得x=。故条件中AD=7不成立。

本题由于多给了条件，且没有经过验证，导致问题出现，这无形中增加了学生的解题难度。所以教师在出题时，应多加思考。