双极坐标系下的柱面镜像法(电轴法)

张拴柱

(长治学院电子信息与物理系,山西 长治 046011)



双极坐标系下的柱面镜像法(电轴法)

张拴柱

(长治学院电子信息与物理系,山西 长治 046011)

在研究电力、电信传输问题时，两根平行圆导线或两个圆柱形导体之间的电场、电势可以采用柱面镜像法计算，这种方法归结为一对电轴的电场、电势问题。本文引进双极坐标，在描述电场、电势的分布，以及计算不同情况下的电容问题时，显得更加简单、方便，由此看出选择适当的坐标系所带来的优点。

电磁学；双极坐标；镜像法；电容

在电磁场理论中，所谓一对电轴是指：线电荷密度分别为λ和-λ(λ=常量)的两平行无限长带电直线相距2a所组成的(见图1)。根据该问题的对称性，可知电场是平行平面场。容易求出在垂直于带电直线xOy面的任一点电势为

选取双极坐标

度规因子

也可写成

则电势在双极坐标下

则电场的分布

等势线：

(x-acthη)2+y2=a2csch2η

即为圆心在x轴(acthη,0)上的一族圆(等势线)，当 0<η<∞时，圆在右半平面；η=0时，圆退化为y轴直线；-∞<η<0时，圆在左半平面。在三维空间中，等势线是一系列圆柱面，其母线与z轴平行，其截面为上述各个圆。

图1

令h=acthη,R=acschη由此看出，每个等势圆的圆心到坐标原点的距离h，圆半径R，带电直线到坐标原点距离a，三者之间的关系

h2=R2+a2

由于R2=h2-a2=(h+a)(h-a)，即带电直线所在的两个点，对于每个等势圆的圆心来说互为反演。

上面的结果运用到实际问题中。例如：半径分别为R1，R2无穷长导体圆柱轴距离为L，平行放置时(见图2)，求单位长度的电容。由于导体圆柱面上电荷相互作用，使导体圆柱表面的电荷非均匀分布，而呈现内侧密外侧疏的状态，由唯一性定理，将导体圆柱撤去，而代之以线电荷密度±λ两根导线，若导线位置满足

h2=R2+a2

则它的电场与两圆柱外的电场等效，(L>R1+R2)导体圆柱面为两个等势圆柱面。

图2

等效带电直线位置为

图3

联解

图4

前面已知h=acthη,R=acschη则

chη=

单位长度的电容

而

把h1、h2代入则可得

所以

若R1=R2

若是半径为R1的空心圆柱套着半径为R2的空心圆柱(即偏心电缆)两圆柱的轴平行而相距L<(R2-R1)，求单位长度的电容。

等效带电直线位置为

联解得：

而

则把h1、h2代入可得

所以单位长度的电容

若是同轴圆柱形，则L=0，即回到一般教科书所讨论的同轴圆柱形电容问题，

[1] 舒幼生,等.物理学难题集萃[M].北京：高等教育出版社，1999.

[2] 孙敏,等.工程电磁场基础[M].北京：科学出版社，2003.

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CYLINDRICAL MIRROR IMAGE METHOD (ELECTRIC AXIS METHOD) IN BIPOLAR COORDINATE

Zhang Shuanzhu

(Department of Electronic Information and Physics, Changzhi University, Changzhi, Shanxi 046011)

Cylindrical mirror image method can be used to calculated the electric field and potential between two parallel round wires or two cylindrical conductors in the study of electricity and telecommunications transmission, which is reduced to the electric field and potential problem of a pair of electrical axis. In this paper, the bipolar coordinate are introduced, and it is simpler and more convenient to describe the distribution of electric field and potential, and to calculate the capacitance in different cases. It shows the advantages of selecting the appropriate coordinate system.

electromagnetics; bipolar coordinate; image method; capacitance

2017-01-11

张拴柱，男，副教授，主要从事物理教学与研究,czxyzsz@163.com。

张拴柱. 双极坐标系下的柱面镜像法(电轴法)[J]. 物理与工程，2017，27(3)：82-83,90.