关于椭圆曲线y2=px(x2+2)的整点研究

印婧婧,管训贵

(泰州学院数理学院，江苏 泰州 225300)

关于椭圆曲线y2=px(x2+2)的整点研究

印婧婧,管训贵

(泰州学院数理学院，江苏 泰州 225300)

目的 针对数论和算术代数几何学的有趣问题——椭圆曲线整点的确定，研究椭圆曲线G:y2=px(x2+2)的整点。方法 运用二次和四次Diophantine方程的性质。结果 设s是正整数，则当素数p=8(18s2-18s+1)(9s2-9s+1)+3时，椭圆曲线G至多有1个正整数点；当p=32s4+1时，椭圆曲线G仅有1个正整数点(x,y)=(8s2,128s5+4s)。结论 解决了椭圆曲线G的可解性问题。即对某些特殊的素数P，椭圆曲线G至多有1个正整数点。所获命题，提供了研究椭圆曲线整点问题的一个思路。

椭圆曲线；整数点；解数；上界

椭圆曲线是域上亏格为1的光滑射影曲线，它的仿射方程通常称为Weierstrass方程，可以写成y2+ay=x3+bx2+cx+d。如果这个域的特征不等于2和3，则可以改写成y=x3+ax+b或y2=x(x-1)(x-λ),λ≠0,1。

作为实曲面看，复数域上的椭圆曲线就是带有一个洞的闭曲面——环面，环面可以通过同向粘合正方形的两对对边得到，其拓扑亏格为1。

椭圆曲线上的点全体构成一个加法群，点与点之间的“加法”运算。正因为椭圆曲线存在加法结构，所以它包含了很多重要的数论信息。椭圆曲线和它的Jacobi簇是同构的，因此它上面的“加法”结构实际上来自于它的雅可比簇的自然加法结构。

在直角坐标系中，某一点的纵、横坐标都是整数，则称该点为整点。

椭圆曲线上的有理点的个数是人们关心的重要问题，这个问题和著名的Mordell-Weil定理有关。Mordell-Weil证明整体域上的椭圆曲线是有限生成交换群。另外，椭圆曲线其上所有的有理点可以由(-2,3),(2,5)通过群上的加法生成。

1985年，Cassele[1]证明了：如果p=3，则椭圆曲线

(1)

恰有3个正整数点，(x,y)=(1,3),(2,6),(24,204)。

2005年，Lica和Walsh[2]证明了对一般的奇素数p，椭圆曲线(1)至多有3个正整数点。

2010年，陈历敏[3]改进了上述上界，证明了如果p是大于3的奇素数，p≡5或7(mod8)时，椭圆曲线(1)无正整数点；p≡1(mod8)时，椭圆曲线(1)至多有1个正整数点；p≡3(mod8)时，椭圆曲线(1)至多有2个正整数点。

本文对有整数点的情况进一步给出。

定理1 设s是正整数,如果素数p=8(18s2-18s+1)(9s2-9s+1)+3,则椭圆曲线(1)至多有1个正整数点。

根据定理1直接可得以下推论：

推论1 椭圆曲线y2=11x(x2+2),y2=47963x(x2+2),y2=4076363x(x2+2),y2=31573163x(x2+2)至多有1个正整数点。

定理2 设s是正整数，如果素数p=32s4+1，则椭圆曲线(1)仅有1个正整数点(x,y)=(8s2,128s5+4s)。

根据定理2直接可得以下推论：

推论2 椭圆曲线y2=2593x(x2+2)仅有1个正整数点(x,y)=(72,31116)。

推论3 椭圆曲线y2=209953x(x2+2)仅有1个正整数点(x,y)=(648,7558308)。

1 关键性引理

引理1 设D1与D2是互素的正奇数，D1、D2为非平方的正整数， (U,V)=(U1,V1)是方程D1U2-D2V2=2，gcd(U,V)=1的最小正整数解， 如果V1不是平方数， 则方程D1X2-D2Y4=2无正整数解(X,Y)。

证明 参见文献[4]。

引理2 设s是正整数，如果素数p=8(18s2-18s+1)(9s2-9s+1)+3，则方程

(2)

无正整数解(X,Y)。

证明 易知，方程pU2-V2=2的最小正整数解为(U1,V1)=(1,36s2-36s+3)，且V1不是平方数，根据引理1，方程(2)无正整数解(X,Y)。引理2得证。

引理3 如果素数p≠3，则方程X2-2p2Y4=1无正整数解(X,Y)。

证明 参见文献[3]。

引理4 设gcd(D1,D2)=1，D1、D2为非平方的正整数， 如果D1>1，则方程D1X2-D2Y4=1至多有1组正整数解(X,Y)。

证明 参见文献[5]。

2 定理的证明

1)证明定理1

设(x,y)是椭圆曲线(1)的正整数点。

情形1x为奇数。因为gcd(x,x2+2)=1，故(1)式成为

(3)

或

(4)

这里a、b是互素的正整数。

当(4)式成立时，有

(5)

由引理2知，椭圆曲线(5)无正整数点(a,b)。

情形2x为偶数。因为gcd(x,x2+2)=2，故(1)式成为

(6)

或

(7)

这里a、b是互素的正整数。

当(6)式成立时，有

(8)

由引理3知，椭圆曲线(8)无正整数点(b,a)。

当(7)式成立时，有

(9)

由引理4知，椭圆曲线(9)至多有1个正整数点(a,b)。

综上所述，定理1得证。

由于s=1、3、8、13时， 8(18s2-18s+1)(9s2-9s+1)+3均为素数，故得推论1。

2)证明定理2

设(x,y)是椭圆曲线(1)的正整数点。若x=a2(a为正整数)，则(1)式成为y2=pa2(a4+2)，于是有正整数b，使

(10)

由(10)知，a、b均为奇数，考虑到p≡1(mod8)，得出3≡1(mod8)，矛盾。

若x=a2m(m为大于1的非平方正整数)，则(1)式成为y2=pa2m(a4m2+2)，于是当m=p时，a4m2+2必须是完全平方数，这显然是不成立的。当m≠p时，a4m2+2=mpc2(c为正整数)，易知，m|2，故m=2。取c=1可得p=2a4+1。考虑到2|a，令a=2s(s为正整数)，则得p=32s4+1，此时x=8s2，y=128s5+4s。因为p≡1(mod8)时，椭圆曲线(1)至多有1个正整数点，故椭圆曲线(1)仅有1个正整数点(x,y)=(8s2,128s5+4s)。定理2得证。

由于s=3时，32s4+1=2593为素数，故得推论2；又由于s=9时，32s4+1=209953为素数，故得推论3。

[1]CASSELS J W S.A Diophantine equation[J].Glasgow Math J,1985,27(01):11-18.

[2]LUCA F,WALSH P G.On a Diophantine equation of Cassels[J].Glasgow Math J,2005,47(02):303-307.

[3]陈历敏.Diophantine方程y2=px(x2+2)[J].数学学报(中文版),2010,53(01):83-86.

[4]LUCA F,WALSH P G.Squares in Lucas sequences with Diophantine applications[J].Acta Arith,2001,100(01):47-62.

[5]LJUNGGREN W.Ein Satz über die Diophantische GleichungAx2-By4=C(C=1,2.4)[J].Tolfte Skand Mat,Lund,1953,8(02)：188-194.

[责任编辑：关金玉 英文编辑：刘彦哲]

Integral Points on Elliptic Curvey2=px(x2+2)

YIN Jing-jing,GUAN Xun-gui

(School of Mathematics & Physics，Taizhou University,Taizhou,Jiangsu 225300,China)

Objective For an interesting problem in number theory and arithmetic algebraic geometry——the determination of integral points on elliptic curve,the points on the elliptic curve G:y2=px(x2+2) are studied.Methods Using properties of quadratic and quartic Diophantine equations.Results Letsbe positive integer.Ifpbe prime withp=8(18s2-18s+1)(9s2-9s+1)+3,then the elliptic curve G has at most one positive integral ponit；ifp=32s4+1,then the elliptic curve G has only one positive integral point (x,y)=(8s2,128s5+4s).Conclusion The study proves the solvability of the elliptic curve G,that is the elliptic curve G has at most one positive integral point for some special primep.The statements supply an idea to study the problem of integral points on elliptic curve.

elliptic curve；integral ponit；number of positive integer solution；upper bound

江苏省教育科学“十二五”规划课题(D201301083)；云南省教育厅科研课题(2014Y462)；泰州学院教授基金项目(TZXY2015JBJJ002)

印婧婧(1995-),女 ，江苏盐城人，泰州学院数理学院在读学生，主要从事初等数论研究。

管训贵(1963-)，男，江苏泰州人，教授. 研究方向：数论。

O 156.1

A

10.3969/j.issn.1673-1492.2017.07.003

来稿日期：2016-05-20