极限在定积分中的作用

张春红

(湖南科技职业学院，长沙 410004 )



极限在定积分中的作用

张春红

(湖南科技职业学院，长沙 410004 )

极限和定积分是高等数学中重要的基础概念。函数的极限是高等数学中最根本的基础概念，是承接高等数学各个知识点的支架。定积分用来解决平面上封闭曲线围成区域的面积问题，利用和式的极限即定积分来求解这一类型的区域面积。特定结构和式的极限计算就是定积分，它是极限的一种形式，数学中用于计算封闭区域的面积，实际生活中用于计算变力做功、水的压力、立体的体积等。极限是定积分的基石，定积分是由极限引申出来的概念。学好函数极限是基础，也是学好定积分的关键。

极限；定积分；函数

极限是描述变量在某一变化过程中的变化趋势。在生活和实践中常常要计算某些量，如:曲线围成的阴影部分图形面积，几何体体积计算，外力作用下质点在移动时所做的功的计算，不均匀密度物质的质量计算，等等。为了计算这些量的精确值，利用极限来求解。大量与这些相关的问题，尽管在表面上、形式上各不相关、各不相同，但都要求计算一个和式的极限，这就是定积分的概念。定积分是极限的一种表现形式，是极限概念的升华，是理论和实践联系起来的纽带。定积分概念的引入，使得很多极限问题的求解得以简化容易。极限和定积分相互运用，更好解决了求解极限方法的问题。

1 理论

1.1 极限概念

函数极限的定义:设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义，如果存在常数，对于任意给定的正数不论它多么小，总存在正数，使得：当满足不等式时，对应的函数值f(x)都满足不等式常数就叫做函数f(x)当x→x0时的极限，记为:

极限作为微积分中最基础的概念，是指变量在一定的变化过程中，逐渐稳定趋向于某个固定的数值。微积分中基本的概念，如:连续、微分、积分等都建立在极限理论的基础概念之上。

1.2 定积分概念

定积分定义:

设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点:

a=x0

把区间[a,b]分成n个小区间，各小区间的长度依次为:

Δxi=xi-xi-1，(i=1,2,∧)，

在各小区间上任取一点ξi(ξi∈Δxi)，作乘积f(ξi)Δxi(i=1,2,∧)并作和

记λ=max{Δx1,Δx2,∧,Δxn}，若不论采取怎样的分割法对[a,b]进行分割，也不论在小区间[xi-1,xi]上怎样取点ξi，只要当λ→0时，和S总趋于确定的极限I，就称这个极限I为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记为:

其中称f(x)为被积函数,f(x)dx为被积式，x为积分变量，[a,b]为积分区间，a,b分别称为积分下限和上限。

根据定积分的定义，曲边梯形由连续曲线y=f(x)(f(x)≥0)、x轴与两条直线x=a、x=b所围成。

其面积A等于函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，即:

分析: 在定积分的定义中有两点值得注意:第一，定积分实际上就是无穷项和式的极限。第二，定积分跟特定的连续函数有密切关联，定积分的一般项受到特定连续函数的约束，是连续函数把某个区间分割成无穷的小区间，每个小区间上任取的函数值与区间长度的乘积的叠加。

定积分的本质是和式的极限。将函数定义域上区间[a,b]分成多个小区间，求函数在每个小区间上任一点的函数值f(ξi)与小区间长度Δxi的乘积的和，在小区间长度趋于零时，如果和式的极限存在，则称此极限值为函数在此区间的定积分。和式极限的几何意义表示的是x轴、函数图形及直线x=a、x=b之间各部分曲边梯形面积的代数和再取极限。

2 极限和定积分的关系

定积分概念的引入，运用了极限的思想，但又拓展了求解极限的方法。定积分概念的引入最初是为了求解实践生活不规则图形的面积，后广泛应用于物理学中求解相关问题。

定积分是特定的一种和式的极限，定积分的概念思想可用于求解和式的极限，有些和式的极限用定积分的思想才能更简洁地解答。将极限的表达式整体转化成积分形式，应用定积分快速简便求原极限的结果。在求解有些积分和时，转化为极限和的形式，可以将问题化繁为简。定积分与极限二者可以相互转化，将问题化难为易，从而达到解决问题的目的，共同促进拓展极限问题的求解。

定积分是一种极限，极限造就了定积分，定积分又更好解决了极限中不少棘手的问题。极限与定积分是广义与狭义的区别，是一般与特殊的区别。定积分有极限的共性又有自己的个性，是一种特殊的极限。

3 结语

函数的极限是深入研究学习函数的基础，定积分是特殊形式的极限，是函数极限的深入研究发展。定积分概念的出现解决了实际生活中不少关于和式极限的难题。学好极限是基础，定积分是极限学以致用的桥梁，是将理论知识运用于实践的嫁接器。

[1] 黄江.新编高等数学[M].西安:西安交通大学出版社，2015.

[2] 张琳，马祥玉.经济应用数学[M].上海:上海交通大学出版社，2010.

[3] 章学诚.高等数学(一)微积分[M].武汉:武汉大学出版社，2004.

[4] 刘玉莲.数学分析讲义[M]．北京:高等教育出版社，2003.

Therole of limit in definite integral

ZHANG Chun-hong

(Hunan Vocational College of Science and Technology, Changsha 410004, China)

Limit and definite integral are important basic concepts in higher mathematics. The limit of the function is the most fundamental basic concept of higher mathematics, and it is a bracket to undertake various knowledge points of higher mathematics. The definite integral is used to solve the problem of the area enclosed by the curve on the plane, and the area of this type is solved by using the limit definite integral. The limit calculation of a particular structure is definite integral, which is a form of the limit. It is used in mathematics to calculate the area of the enclosed area, and is used to cultivate variable force acting, the pressure of water and the volume of the cube in actual life. Limit is the cornerstone of definite integral, and the definite integral is the concept derived from the limit. The functional limit is the basis to learn definite integral.

Limit; Definite integral; Function

2017-02-15

张春红(1980-)，女，硕士，讲师。

G642

A

1674-8646(2017)08-0130-02