巧用数学方法解决实际问题

游咏松

小明的妈妈买了一件重7.7克的金银合金饰品，这块合金中含金银各多少克？这可让小明的妈妈犯愁了，该怎么办呢？

解決这个问题并不难，先让我们来看一道比较熟悉的问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”——《孙子算经·鸡兔同笼》.

这里有两个相等关系.相等关系1：“上有三十五头”指鸡、兔共有35只，即“鸡的只数+兔的只数=35（只）”；相等关系2：“下有九十四足”指鸡的腿与兔的腿共有94条，即“鸡腿的条数+兔腿的条数=94（条）”.我们可以用数学式子表达出“鸡兔同笼”问题中的相等关系，设鸡有x只，由相等关系1得兔有（35-x）只，可以得到关于x的方程：2x+4（35-x）=94.解得x=23，35-x=12.

换一种思路来看，设鸡有x只，兔有y只，由相等关系1可以得到关于x、y的方程：x+y=35，由相等关系2可以得到关于x、y的方程：2x+4y=94.解该方程组轻易可得答案.

其实两种解法完全相同，第一种解法是在设未知数时利用其中一个相等关系表示出另一个未知数，再根据另一个相等关系列出一元一次方程；第二种解法是分别利用两个相等关系列出二元一次方程组，再解二元一次方程组.

我们知道：方程（组）是刻画现实世界数量关系的重要模型.从实际问题到数学问题，再从数学问题到列出方程（组），正确列出方程（组）的关键在于弄清题意，恰当地设未知数，找出问题中的相等关系.

聪明的小明查阅资料发现：金放在水里称重量减少[119]，银放在水中称重量减少[110].小明将该合金在水中称发现减少了0.5克.小明受到“鸡兔同笼”问题的启发，仔细观察，发现妈妈的“金银合金饰品”问题只是一个特殊的“鸡兔同笼”问题.但特殊的地方是，这里不是假设整块合金全是金或银，而是假设金和银一样重量减少[110].如此可得算式[7.7×110-0.5]÷[110-119]，不难得出金有5.7克，银就有7.7-5.7=2（克）.

换一种思路，因为这道题中有相等关系：金减少的重量+银减少的重量=0.5克，所以可以列一元一次方程来解决.设此合金中有金x克，则银有（7.7-x）克.由题意得一元一次方程[119]x+[110]（7.7-x）=0.5，解方程得x=570，则金有5.7克，银有7.7-5.7=2克.

事实上，这道题中有两个相等关系，相等关系1：金减少的重量+银减少的重量=0.5克；相等关系2：金的重量+银的重量=7.7克.这样就可以用二元一次方程组来解决.设该合金中有金x克，有银y克.由题意，得二元一次方程组：[x+y=7.7，119x+110y=0.5.]解之，得[x=5.7，y=2，]则金有5.7克，银有2克.

由此可见，生活中处处有数学，数学很有用吧！