浅谈“设而不求”的解题思考

广西壮族自治区贺州市昭平县木格乡盘石小学 钟顶伟

“设而不求”是数学解题中的一种有效手段，在计算繁杂、或数量关系不明,而致使思路受阻时，采用“设而不求”的策略，能避免盲目推演而造成无益的循环运算、时间资源的流失。采用“设而不求”这一策略，往往能化繁为简，优化过程，从而达到准确、明快、简捷的解题效果。以下列举几例，以供借鉴与参巧。

一、“设而不求”,结果自显

在解题中，巧设一些末知数字母来参与题中的已知条件的推算。使运算互相抵消，因而结果直现，使问题化难为简。

例1：计算

分析与解答：此题若通分计算，实为无法办到。若用字母代替，则十分简单。

设

则原式＝（1+A）×B—（1+B）×A

＝B+AB—A－AB

＝B－A

＝

例2：甲、乙两人进行百米赛跑,当甲到达终点时,乙在甲后面 20 米处,如果两人各自的速度不变,要使甲、乙两人同时到达终点,甲的起跑线应比原起跑线后移多少米？

分析与解答：此题只告诉了路程总量,无论是先求速度还是求时间都很难办到,如果用字母代替时间,解答易如反掌。

假设甲跑完100 米要用a 秒,则甲的速度为,乙的速度为。

现在要使使甲、乙两人同时到达终点,则乙要跑的路程为 100米,他所用的时间为 100也是甲跑的时间。所以甲要跑的路程为：＝125（米）。

故起跑线应比原来起跑线后移125—100＝25（米）。

二、“设而不求”在分数中有末知数的问题

例3：要使为可约分的分数，则自然数n的最小值是多少？

分析与解答：此题若用列举法很难办到，不妨设分子、分母有公因数a，显然应有a＞1,K为自然数。并且设：分子n-13=aK1①

分母5n+6=aK2②

由①得n=aK1+13 ，将之代入②得：5（13+aK1）+6＝aK2

所以a(K2－5K1)＝71

由于71是质数，且a＞1,所以a＝71。那么

n=aK1+13＝84。

例4：等差数列an的前n项和为Sn,若Sm=m,Sn=n(m≠n)

求Sm+n

分析与解答：此题通过巧妙转换、恒等变形，设置一些与问题有关的元素、即可迎刃而解。

由①－②得a1+(n+m-1)d=-1③

故Sm+n=(m+n)a1+d=(m+n)(a1+d)

将③代入Sm+n＝－（m+n）

三、“设而不求”，挖关系、寻依据

例4：一水箱,用甲、乙、丙三个水管往里注水,若只开甲、丙两管,甲管注人18 吨水时,水箱已满;若只开乙、丙两管,乙管注人 27 吨水时,水箱才满,又知乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的2倍,则该水箱最多可容多少吨水？

分析与解:假设甲管每分注水量为a吨,丙每分注水量为b 吨,则乙每分注水量为 2a 吨。

乙、丙两管同时注水时,乙管所用的时间可以表示,那么在这同一时间里丙管注水量为:

根据两次注水量相等,列方程得:

b=2a

由此说明丙每分注水量和乙每分注水量相同。当乙、丙两管合注满水池时,乙管注入了 27 吨水,同时也说明丙管注入了27 吨水,所以该水箱最多可容27+27=54( 吨 )水。

四、设而不求，列方程求解

这类问题通常要设多个末知数来列方程，但无需求出每个末知数的值。

例5：小明参加了六次测验,第三、第四次的平均分比前两次的平均分多2 分,比后两次的平均分少 2分,如果后三次平均分比前三次平均分多3分,那么第四次比第三次多得多少分？

分析与解:设小明第三次测验成绩为a分,第四次测验成绩为b分,则有:

小明第一、第二次的平均分为一2,第五 、第六次的平均分为+2。

根据后三次平均分比前三次平均分多3 分,列方程,得:

即b－a＝1

所以第四次测验成绩比第三次多得1分。

故“设而不求”，在数学解题中已广泛应用。特别应用在繁杂的数学难题，通过全面分析、不断变换观察角度，类比方法、联想内容，明确最终目标。经过巧妙构造，活用性质，力求使问题解答完整严密，可直达目标。