插值端切向的内心细分方法

孟慧宁，邓重阳，史非凡

(杭州电子科技大学理学院，浙江 杭州 310018)

插值端切向的内心细分方法

孟慧宁，邓重阳，史非凡

(杭州电子科技大学理学院，浙江 杭州 310018)

内心细分法的极限曲线插值给定点列，但一般不插值给定点处的切向.通过改变内心细分方法第一步中与端点相邻新点及其切向量的计算规则，使其极限曲线插值给定的端切向.理论分析和数值算例都表明该方法是有效的.

内心细分方法；插值端切向；计算规则

0 引 言

在计算机辅助几何设计与图形学中，细分方法具有算法简单、易于实现和高效性等特点，是近年来几何造型领域的研究热点之一.按照细分规则可把细分法分为线性细分法和非线性细分法.在曲线造型中，具有代表性的线性细分方法有Chaikin割角法[1]、Dyn四点法[2]、非均匀四点法[3]等.这些方法规则简单，收敛性和光滑性易于分析，但极限曲线的形状较难控制.非线性细分法相对于前者具有较复杂的计算，但能更好地控制极限曲线的形状.例如非线性四点插值细分算法的极限曲线具有保凸性[4]，自由曲线的非线性细分造型方法通过引入自由参数和曲率，更好地控制了曲线形状，使生成的极限曲线具有保凸和保尖锐等特征[5].

内心细分方法[6]是基于双圆弧插值[7]给出的一种具有保形性、保圆性和光顺性的非线性细分方法.该方法首先由初始点及初始切向量按内心细分规则求得新点及其临时切向量，再将各点的临时切向量作旋转变换计算新的切向量进行细分，较好地控制了极限曲线的形状.文献[8]给出一个调整切向的新方法，使切向计算更简单、几何意义更明显.内心细分方法使生成的极限曲线插值初始控制点，但其切向量在每次细分过程中都需调整，因此不能保证极限曲线插值初始切向量.

本文通过改变内心细分法第一步中与端点相邻的新点及其切向量的计算规则，提出一种插值端切向的内心细分方法.该方法使极限曲线插值端点处的切向量，保证了内心细分方法原有的特性.

1 内心细分方法

(1)

(2)

2)对临时切向量作旋转变换计算新的切向量，依次细分.各点新切向的计算公式为

(3)

2 插值端切向的内心细分方法

(4)

从而有

(5)

(6)

(7)

图1 与端点相邻新点的计算规则

定理 插值端切向的内心细分法使生成的极限曲线插值端点处的切向量.

3 实例分析

由插值端切向的内心细分方法，给出几个具体实例，如图2所示.每个图形的极限曲线由初始点(圈点)细分5次得到，画出端切向(箭头线)方向及各点的曲率图(直线段).图2(a)中，初始点及其端切向分别为(5，2)，(6，5)，(4，6)，(2，3)，(5,0)，(7，2)和(1，1)；图2(b)中初始点及其端切向分别为(2，5)，(4，7)，(6，3)，(3，2)，(6，0)，(8，1)和(-1，2)；图2(c)和(d)为初始点(3，6)，(6，8)，(9，8)，(8，5)，(10，2)，(8，0)，(4，2)分别取不同的端切向[0，1]和(1，2),可得到不同的极限曲线.

图2 插值端切向的极限曲线及曲率图

由图2可以看出，给定开曲线的端切向，按照文章方法对内心细分法作局部调整，使极限曲线插值端点处的切向量，同时保证了极限曲线的保形、保圆和连续等特性.给定不同的端切向，其极限曲线也有差异.

4 结束语

文章通过改变内心细分法第一步中与端点相邻的新点及其切向的计算规则，提出插值端切向的内心细分方法，使极限曲线插值端切向，保证了内心细分方法原有的特性.下一步将研究插值中间切向或插值切向及曲率的内心细分方法.

[1]DYNN,LEVIND,GREGORYJA.A4-pointinterpolatorysubdivisionschemeforcurvedesign[J].ComputerAidedGeometricDesign, 1987,4(4):257-268.

[2]CHAIKINGM.Analgorithmforhigh-speedcurvegeneration[J].ComputerGraphicsandImageProcessing, 1974,3(4):346-349.

[3]金建荣,汪国昭.构造曲线的插值型细分法——非均匀四点法[J].高校应用数学学报(A辑),2000,15(1):97-100.

[4]丁友东.一类非线性保凸插值离散细分格式及其性质[J].复旦学报(自然科学版),2000,39(1):9-14.

[5]许玲玲.自由曲线的非线性细分造型方法[D].长沙:中南大学,2009.

[6]DENGC,WANGG.Incentersubdivisionschemeforcurveinterpolation[J].ComputerAidedGeometricDesign, 2010,27(1):48-59.

[7]MEEKDS,WALTONDJ.ApproximationofdiscretedatabyG1arcsplines[J].Computer-AidedDesign, 1992,24(6):301-306.

[8]李亚娟,邓重阳.内心细分法的一个变式[J].计算机辅助设计与图形学学报,2013,24(12):1542-1548.

[9]邓重阳.CAGD中细分与拟合的造型方法研究[D].杭州:浙江大学,2008.

Interpolating Given End Tangents by Incenter Subdivision Scheme

MENG Huining, DENG Chongyang, SHI Feifan

(SchoolofScience,HangzhouDianziUniversity,HangzhouZhejiang310018,China)

The limit curves of incenter subdivision scheme interpolate given points, but in general do not interpolate tangents at given point. By changing the rules of new points adjacent end points, we can interpolate end tangents using incenter subdivision scheme. Both theoretical analysis and numerical examples show the validity of the method.

incenter subdivision scheme; interpolating given end tangents; the rules of calculating

10.13954/j.cnki.hdu.2017.03.020

2016-07-04

国家自然科学基金面上项目(61370166)

孟慧宁(1990-)，女，河南杞县人，硕士研究生，细分曲线造型.通信作者：邓重阳教授，E-mail：dcy@hdu.edu.cn.

O241.3

A

1001-9146(2017)03-0096-03