浅议仿射变换的应用

姚金江++朱萌

摘 要：变换是一种重要的数学思想。利用变换去解决问题往往可以达到事半功倍的效果。仿射变换是几何学中的一个重要变换，是从运动变换向射影变换的重要手段。根据仿射变换的性质，可以把特殊图形的重要结论直接推广到一般图形，达到复杂问题的简单化求解。

关键词：仿射变换 仿射不变性 单比

中图分类号：TP391.41 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2017）05（a）-0156-02

仿射变换是几何学中一个基本的变换，图形在变换中保持许多不变性质和不变量；这些不变性质与不变量为人们解决复杂几何问题提供了理论根据，仿射变换基本的不变性质与不变量有：同素性不变，即把直线变成直线、点变成点；平行性不变，即把平行直线变成平行直线；共线三点的单比不变，两个三点形的面积比不变。

结论1[1] 两个多边形的面積之比是仿射不变量。

结论2[1] 两个封闭图形的面积之比是仿射不变量。

根据以上性质我们得到：三角形变为三角形（正三角形或斜三角型）、圆变为椭圆、等腰梯形变为一般梯形等。

1 应用方法

正三角形、等腰梯形、圆都是特殊的几何图形，有明显的几何性质；它们的某些性质可推广到一般图形中去，并可以利用相关结论解决实际几何问题。例如正三角形3条中线把正三角形分成6个面积相等的小三角形，根据仿射性质知道，一般三角形也有这个结论。对于任意的一个一般三角形，在适当的仿射变换下，它可以变为正三角形。因此，我们要证明有关三角形的结论时，若题目中的条件都是图形的仿射性质或仿射不变量，那么我们只需要证明这个结论在正三角形中成立即可。

任意的一个平行四边形，经过合适的仿射变换，它可以转换为长方形或正方形。因此要解决关于平行四边形的符合仿射性质或数量的结论时，可以考虑正方形，只要这个结论在正方形中成立，那么它在原平行四边形当中也成立，从而使解题过程变得简单。

一般梯形在仿射变换下能转化为等腰梯形。因此要解决关于梯形的符合仿射性质的题目时，可以将这个命题转化到等腰梯形中去解决，只要在等腰梯形中成立，那么它在原梯形当中也成立。这里主要介绍一下仿射变换在梯形中证明线平行和点共线的应用。

椭圆与圆是仿射对应图形，在仿射意义下二者等价。在解决关于椭圆的命题时，可以将此命题放到对应圆中去解决，只要命题在圆中成立，那么在椭圆中也必定成立。在高中阶段，圆锥曲线问题是普遍困扰学生的一部分内容，掌握仿射变换会使一部分题目变得明朗许多，这对于数学师范学生来说是一种重要的数学思想与方法。

2 应用举例

例1 设在中，为中边上的高，直线交外接圆于点，点是的垂心，证明：。

证明：如图1，做适当仿射变换使变为正三角形，相应的点、、变为、、。显然，点是外接圆的圆心，因为，所以平分。

因为，

，

所以是正三角形。

因此，平分，即。

由单比是仿射不变量知。

因此。

例2 在底边为和的梯形中，过点引平行于边的直线且交对角线于点，而过点平行于边的直线且交对角线于点，证明：直线平行于梯形的底边。

分析： 该题考察梯形变为等腰梯形的仿射变换，经过变换，可以变 （是直线与的交点）为等腰三角形，因此在关于中垂线的对称下点变为点，所以直线和平行。命题得证。

证明 如图2所示，在适当的仿射变换下，梯形对应等腰梯形，点分别对应。

易知点与点关于梯形的中垂线左右对称，所以

。

因为直线的平行性是仿射不变性，所以在原梯形中，

。

证毕。

例3 设椭圆方程为，求椭圆内接矩形的面积最大值。

解：如图3所示，做仿射变换，使椭圆对应圆。设圆的半径为，易知在圆内内接矩形面积最大时，该矩形为正方形。

椭圆的面积公式为，

根据封闭图形的面积之比是仿射不变量得，

即，

因此矩形最大面积为。

利用仿射变换的定义、定理以及相关性质解决问题，是理论应用实践的一种重要的思想方法。从上面的例题中可以看出，大部分题目运用仿射变换解决要简单和方便许多，运用仿射变换可以使一些抽象的、不容易解决的问题得到很好的解决。用仿射变换解决平面几何问题的基本思想，首先，要判断要解决的题目是否涉及仿射性质，能否利用仿射不变性（或仿射不变量）来解决。一般来说，涉及到共线共点、线段或面积比问题的这类题目可以运用仿射变换求解。而涉及线段长度、垂直、夹角大小等，不能用仿射变换去解决。

参考文献

[1] 姚金江，任庆军，孙洪春.几何学[M].北京：电子工业出版社，2010.

[2] 波拉索洛夫.俄罗斯平面几何问题集[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2009.

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[5] 刘增贤.高等几何学习指导[M].北京：高等教育出版社，1989.