探析立体几何在高中数学学习中的应用

朱顺

【摘 要】立体几何是我们在高中数学学习过程中必须学会的重要知识点，其在很多类型的数学知识中有着广泛的应用。立体几何需要我们结合数据和图形甚至要加上一定程度的空间思维想象才能对其进行正确处理的一类数学难点。很多同学在应用立体几何解答高中数学题的时候会无从下手，因为有些是需要作辅助线的，我主要结合自己的高中数学学习经验对立体几何在高中数学学习中的应用进行分析。

【关键词】立体几何；高中數学

我们可以通过平时的高中数学考试发现，立体几何占的分值是比较大的，部分选择题、填空题可能都需要借助立体几何思维解答，在大分值的解答题中也会有专门的考察立体几何的题，因此明确立体几何在在高中数学解题中的应用对我们整体成绩的提升就有着非常重要的作用。部分同学在解答相关数学题的过程中，不能理解立体几何的多变性，并且逻辑思维能力达不到要求，因此就容易在解题过程中出现错误。因此，我主要针对立体几何的应用方式和类型进行分析，希望对同学们有所帮助。

一、构造辅助图形，使原命题特殊化

在解答立体几何的过程中，构造辅助图形是比较常用的方式，它能够使得题中的数量关系连接起来，帮助我们简化解题思路。辅助图形的构造就是将原命题中的几何关系进行重新构造，并且使得新的命题与原命题是相应的，从而使得命题特殊化，能够较快地找到突破口，这对于提升我们的立体几何解题效率来说是具有重要的作用的。比如：四边形ABCD为一个矩形（图1），PD⊥平面ABCD，AB=1，BC=PC=2，作如图2折叠：折痕EF∥DC，其中点E、F分别在线段PD、PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF.（1）证明：CF⊥平面MDF.（2）求三棱锥M-CDE的体积。

在解答这个立体几何题的时候，我们首先可以根据题意将能够从原图中找出的线段之间的关系找出来，然后再根据题目要求进行相应的转化。由于题目的已知条件中有PD⊥平面ABCD，因此可以得到MD⊥CF，又可以结合MF⊥CF，由线线垂直定理可以得到CF⊥平面MDF。接下来我们来解答第二个小问题，根据题意就可以得知在现有的命题图形中是难以直接进行求解的，因此就需要构造相应的辅助图形，依题意得，MD=√6/2，三角形CDB的面积就是√3/8，然后可以得到三棱锥M-CDE的体积为1/3倍的MD的长度，就是√2/16。所以，由这个题可以得知，在一些复杂的立体结合问题中借助辅助图形能够使得原命在不改变的情况下得以简化，不仅能够提升我们的解题效率，还能够培养我们的数学逻辑思维。

二、变换图形，巧用运动观点解题

在求解立体几何数学题的时候，经常会遇到一些求最值和几何范围的题目，这些大多是不能由立体几何原图直接求解的，而是需要对图形进行一定程度的变化，利用运动的观点进行解答。运动变化理念在高中物理学习过程中的应用比较多，和这种立体结合运动求解的方式类似，能够比较准确和快速地分析题目中所给的条件，然后再进行转化解答。比如：直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是一个直角三角形，∠ABC=90°，BC=CC=√2，AC=6，BC1上有一个随意移动的点P，问CP+PA1的最小值。

很明显，这个题主要是求最小距离，但是在图3中，并不能直接求解，因此就需要将图形进行一定程度的变换，使其转化为运动范畴，从而求出其最小值。在解答这个题的时候，我们可以先将A1与B进行连接，然后以BC1为基础，将△CBC1与△A1B1C1展开在同一平面上，再连接A1与C，这样的话，A1C的长度就是题目要求的最小值。在计算过程中，可以求出∠A1C1C=90°，∠BC1C=45°，所以∠A1C1C=135°，然后根据余弦定理可以求出的A1C的长度为5√2，这就是CP+PA1的最小值。所以说，在遇到立体几何需要求解最大值或者最小值时，就可以按照这种方式将图形进行变换，从而帮助我们简化题意，达到事半功倍的效果。

三、“设而不求”，简化运算

在解答立体几何相关问题的过程中，经常会遇到很多题目中已知条件过多但是就是缺少关键条件的情况，在对这类题进行解答时，通常是需要根据题意设立最合适的未知数，利用参数进行解题，构造已知条件和未知条件之间的关系，避开不需要求解的部分，从而比较快速地解答问题。设而不求的方式从一定程度上来说也会可以简化运算的，虽然其在运算过程中增加了参数，但这只是一个对照物，然后巧妙利用参数将题目不作要求并且对解题没有作用的数据进行替代，从而达到快速解答的目的。这种设而不求的方式在高中数学学习过程中的应用范围比较窄，由于其在解答过程中需要借助参数，很多同学就不能够对其进行全面掌握。总的来说，立体几何的这种解题方式是能够是降低题目难度的，如果同学们想要进一步了解，可以与同学和老师进行讨论，我就不进行举例了。

四、结语

综上所述，立体几何在高中数学学习中的应用是比较广泛的，其解题方式在很多数学知识中都可以用到。我说说的应用方式并不完善，同学们还有补充的可以和我一起分享，希望我的论述对同学们解答相关数学题有一定的帮助。

参考文献：

[1]江士彦.刍议高中数学中的立体几何解题技巧[J].读与写（教育教学刊），2015（11）

[2]孙君海.浅谈如何学好高中立体几何[J].学周刊，2015（07）

[3]李海欣，李静.浅谈立体几何在高考中的应用[J].中国校外教育，2013（08）