例析三角形全等的隐含条件

梁燕

摘 要：在判定三角形全等的问题中，题目直接给出的全等条件往往只有一个或两个（有时可能连一个也没有），而其余的条件常常隐藏于题设中或图形之中，需要我们自己去挖掘，本文我将介绍一下隐含条件的隱身之处。

关键词：三角形，全等，全等判定

在三角形全等的判定：“SAS、ASA、AAS、SSS”及直角三角形全等的判定“HL”中，一般要给出三个条件，才能判定两个三角形全等。但在实际问题中往往只给出两个条件，这就需要寻找题中的第三个条件。本文从对顶角、公共边、公共角等三个方面分析三角形全等的隐含条件。

一、对顶角

例1 如图1，AB与CD相交于点O，且OA=OB，∠A=∠B，试说明：AC=BD.

分析：根据对顶角相等，得∠AOC=∠BOD，∵OA=OB，∠A=∠B，∴△AOC≌△BOD（ASA）.∴AC=BD.

二、公共边

公共边包括全部公共边、部分公共边和隐含公共边三种。

1.全部公共边

例2 如图2，已知：△ABC与△DCB中，∠ACB=∠DBC，AC=DB，试说明：∠A=∠D.

分析：∵AC=DB，∠ACB=∠DBC，BC=CB为全部公共边，利用“SAS”可说明△ABC≌△DCB，∴∠A=∠D.

例3 如图3，△ABC和△ABD中，∠C=∠D=90 ，AC=AD，试说明：BC=BD.

分析：∵∠C=

∠D=90 ，AC=AD，AB是全部公共边，利用“HL”可证明：Rt△ABC≌Rt△ABD，由此得BC=BD.

2.部分公共边

例4 如图4，∠B=∠F，BE=FC，∠ACB=∠DEF，试说明：AB=DF.

分析：∵BE=FC，∴BE+CE=FC+CE，即BC=FE（这里CE为部分公共边），又∵∠B=∠F，∠ACB=∠DEF，∴△ABC≌△DFE（ASA），于是得AB=DF.

例5 如图5，∠A=∠E，∠ACB=

∠EDF，BD=FC，试说明：AB∥EF.

分析：∵BD=FC，∴BD+CD=FC+CD.即BC=FD（这里CD为部分公共边）可说明△ABC≌△EFD（AAS）.∴∠B=∠F，由此得AB∥EF.

3.隐含公共边

所谓隐含公共边是题中没有相应的线段，必须添加辅助线，使其成为所要证明的两个三角形的公共边。

例6 如图6，四边形ABCD中，AB=CD，AD=CB，试说明：∠B=∠D.

分析：要证明∠B=∠D，必须说明它们所在的两个三角形全等，若添加辅助线AC，则AC是隐含的公共边，利用“SSS”可证明△ABC≌△CDA，从而得∠B=∠D.

例7 如图7，AB=DC，AC与DB相交于点O，且DB=CA，试说明：∠B=∠C.

分析：∠B和∠C分别在△ABO与△DCO中，由已知条件不能直接证明这两个三角形全等。但添加辅助线AD后，就构造了另一对全等三角形，其中AD=DA是隐含的公共边，利用“SSS”可证明△ABD≌△DCA，故得∠B=∠C.

三、公共角

公共角包括全部公共角和部分公共角，举例如下。

1.全部公共角

例8 如图8，AD=AE，AC=AB，试说明：BE=CD.

分析：本题仅给出AD=AE，AC=AB，两个条件，其隐含条件为“公共角”：∠A=∠A，根据“SAS”可证明△ABE≌△ACD，由此得BE=CD.

2.部分公共角

例9 如图9，AB=AD，AC=AE，∠BAE

=∠DAC，试说明：∠C=∠E.

分析：∠CAE是△ABC和△ADE的部分公共角，只要在∠BAE=∠DAC两边加上∠CAE，就得到：∠BAC=∠DAE，∵AB=AD，AC=AE，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠C=∠E.

例10 如图10，AB=AE，AD=AC，∠BAC=∠EAD，试说明：EC=BD.

分析：∵∠BAC=∠EAD，∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD（∠CAD为部分公共角），即∠BAD=∠EAC.又∵AB=AE，AD=AC，∴△ABD≌△AEC（SAS），于是得EC=BD.

例11 已知：如图11，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形。

（1）求证：AN=BM；

（2）若将△CBN绕点C旋转成图12的情形，还有“AN=BM”的结论吗？如果有，请给予证明。

分析：此题线段多，三角形多，学生容易受到干扰，可通过AN、BM找其所在的三角形△ANC和△BMC.再证明△ANC≌△BMC.

（1）∵△ACM与△CBN都是等边三角形，∴AC=CM，CN=CB，∠ACM=∠BCN=60 .∴∠ACM+∠MCN=∠BCN+∠NCM，（∠MCN为部分公共角）即∠ACN=∠BCM，∴△ANC≌△BMC（SAS），∴AN=BM.

（2）如果将图11中的△CBN绕点C旋转成图12的情形，同样有“AN=BM”的结论。证明方法与（1）完全一样。在初学判定两个三角形全等时，要认真仔细地观察图形是否有“对顶角、公共边、公共角”等隐含条件，只有充分挖掘、利用好这些隐含条件，才能解决好三角形全等的问题。