简单平面桁架的稳定性及极限承载基于有限元的几何非线性分析

摘 要：本文首先介绍了分析压杆稳定的线性有限单元，然后引入对几何非线性问题的一般讨论，提出了结构的切线刚度矩阵。最后介绍了求解几何非线性方程的牛顿——拉斐逊法，应用此方法通过编程分析得出简单桁架荷载—位移曲线。

关键词：稳定性；有限元；几何非线性；切线刚度矩阵；简单桁架

【文章编号】1627-6868（2017）03-0013-03

Abstract： The article firstly introduces the geometry linear method of finite element. Then it gets into the geometry non-linear discussion， put forward the tangent rigidity matrix of the structure. At last it presents the Newton-Lapheisun method using in the solve of geometry non-linear equation， then get the curve of the relationship of load and displacement through programming.

Keywords：stability； finite element； geometry non-linear； the tangent rigidity matrix； simple truss

桁架是由一些细长杆在其两端连接（利用焊接或铆接等方法）而成的几何形状不变的结构。它在桥梁、起重机与屋架等工程对象中得到广泛的应用。如果桁架所有杆件的轴线与其受到的载荷均在一个平面内，称此类桁架为平面桁架，否则称为空间桁架。

结构的稳定性是结构平衡状态的稳定性，任何结构的平衡状态可能有三种形式：稳定的平衡状态，不稳定的平衡状态和随遇平衡状态。

假设结构在平衡状态附近作无限小偏离后，如果结构仍能恢复到平衡状态，则这种平衡状态为稳定的平衡状态；如果结构在微小扰动作用下偏离其平衡状态后，不能再恢复到原平衡状态，反而继续偏离下去，则这种平衡状态为不稳定的平衡状态；如果结构在微小偏离其平衡状态后，既不能再恢复到原平衡状态，也不继续偏离下去，而是在新的位置形成新的平衡，则这种平衡状态为随遇平衡状态，随遇平衡状态往往是从稳定平衡状态向不稳定平衡状态过渡的一种中间状态。

1.压杆稳定的线性有限单元法——瑞利-里兹法

变形体的虚位移原理表明：变形体处于平衡状态的充分和必要条件是，對与支承约束条件相协调的任意微小虚位移，外力虚功与内力虚功的总和等于零。

4.算例及分析

如图所示为一悬臂桁架梁，假定不考虑材料屈服和杆件屈服，应用本文推导的杆单元切线刚度矩阵对其分析可得如图所示位移曲线。

在简单桁架达到极限荷载后，由于切线刚度矩阵行列式的值趋近于零，从而产生奇点，根据牛顿——拉斐逊法编制的程序计算发生溢出。

通过上述算例可知，可以将基于有限元的非线性（几何非线性、材料非线性）分析方法应用于分析网壳、网架，从而为进一步研究复杂结构的稳定性提供了启示，克服现行的有限元分析软件收敛性要求过高、单元划分过于严格的缺点。

参考文献

[1] 丁皓江、何福保等.弹性和塑性力学中的有限单元法.机械工业出版社，1989

[2] 刘光栋、罗汉泉.杆系结构稳定.北京：人民交通出版社，1988

[3] 尹越.单层球面网壳结构的稳定性研究.天津大学博士生论文，1998

[4] 夏志斌、潘有昌.结构稳定理论.高等教育出版社，1989

[5] 王国权.长悬臂桁架基于有限元的稳定性和极限承载研究.天津大学硕士毕业论文，2005

【作者简介】王国权（1979-），男，江苏南通人，结构设计师，硕士，研究方向：结构工程。