关于高等数学极限部分教学的几点改进

赵文雯

极限既是整个高等数学的基础，也是学生在学习高等数学中接触的第一个和初高中掌握的概念形式不同的知识点。如果极限的概念和应用掌握不好，一方面对于后续的导数、积分等概念难以理解，还极易产生厌学的情绪。本文根据极限部分知识特点，针对极限概念引入及极限求解等方面给出了相关的教学改进建议，以达到引起学生兴趣，便于学生理解和应用的目的。

高等数学是指相对于初等数学而言，数学的对象及方法较为繁杂的一部分。广义地说，初等数学之外的数学都是高等数学，也有将中学较深入的代数、几何以及简单的集合论初步、逻辑初步称为中等数学的，将其作为中小学阶段的初等数学与大学阶段的高等数学的过渡

极限作为高等数学中最先引入的知识点，既是难点也是重点，如果极限的概念和应用掌握不好。一方面对于后续的导数、积分等概念难以理解，还极易产生厌学的情绪。同时，除本科数学专业开设数学分析课程外，很多学习高等数学课程的专业并非数学类专业，因此学生本身的不重视加上课程有一定难度，经常会导致学生成绩不理想的结果，因此对于高等数学基本概念，极限的引入与展开是一个值得深入探索的课题。

我国高校高等数学课程的教学水平各不相同，根据以往的研究發现，目前在高等数学课程的开设方面，仍然存在着许多问题，就课程的内容而言，高等数学课堂上教师在教学中向学生灌输大量的“定义、定理、推导、证明、计算”等，而对于概念的深入思考却十分欠缺，导致概念与习题不能有效的对接，学生忽略对于理论本身的理解，进而在遇到更复杂的知识点时难以掌握，只能靠硬背来学习数学。据此，本文结合高等数学课程教学中遇到的问题，结合实际教学经验，提出如下三方面的教学改进方案。

多角度诠释极限的概念

极限在高等数学中的定义与在中学阶段的“趋近于”之类描述是有差别的，学生第一次接触用数学语言描述的极限定义，对于此类定义的理解有一定困难，因此在讲授过程中重复性的强调是必须的，但单纯的重复容易引起学生的厌学心理，因此需要从极限定义人手，除了书本上经常出现的以数轴为基础的几何描述方式外，积极探索不同角度的描述该概念的方法，让同学们可以根据自己的思维方式选择某一个角度对极限概念进行理解。

事实上，一直以来同学们对于函数的学习，远多于对数列的学习，因此可以考虑将数列看做定义在正整数集上的函数，在二维平面中表示出数列，以体现极限定义的趋近效果，而非单纯从一个数轴上进行几何方面的观察。如图1中，以xn=1/n为例。

当用图1中函数形式表示数列极限时，和同学们一直以来常见的图像表示函数的视觉效果类似，通过实践表明，很大一部分同学对该图示的理解效果比对数轴形式的几何描述理解效果更好。同时，在数列极限之后讲解函数极限时，将图1中的点直接连起来即可，两个概念从图像上看相关性更强，不会有脱节的感觉，同学们学习起来也更加流畅。

注重结论在实践问题中的应用

生活离不开数学，数学离不开生活，数学知识源于生活而高于生活，最终服务于生活。数学就是人们用来解决实际问题的重要手段之一。在极限教学中，很多我们最早用来引出的极限的实例，其实通过后续的学习都是可以验证的，只是教材上没有体现，很多老师在讲授的过程中也并没有在意。同学们学习的过程中如果不能带着问题去学习，学过了一些结论，不能用来解释心中的问题，那么这种填鸭式教学，最终的教学效果也很难保证。因此在教学过程中如果可以积极的探索各个结论之间的相互印证，发现其中教材上并未体现的内在联系，那么学生的学习过程也会经常遇到惊喜，进而培养学生的数学思维，刺激学生主动思考。

举例来说，在学过第一个重要极限之时，学生会发现该极限与正弦函数有关，并且该极限的证明过程借助了圆形，在这样的背景下，实际上可以借助第一重要极限反过来证明正多边形趋近于圆，可以通过对圆的内接正n边形面积求极限，验证该面积趋近于圆的面积；也可以通过对圆的内接正n边行周长求极限，验证周长趋近于圆的周长；具体推导过程在借助第二重要极限的基础上并不困难，不在此赘述。事实上，在进行了上述求解后，还可以提出问题：周长相等、面积相等的两个平面图形就是一样的吗？以此来引起学生学习数学的兴趣，而对此问题最直接的解释就是：周长相等的平面图形，圆形的面积最大。

四、综合整理极限的各种求解方式

在学生学习高等数学第一章时，最重要的考点就是求极限。而求极限问题情况多变，方法多样。在教学中需要积极寻求有规律的求解思路，根据不同类型题目总结各种方法对应的类型题目，综合实际问题进行系统的讲解。为后期学习其他求极限方法做铺垫。

通过对求极限方法与各类情况的初步总结，可暂时给出如下思路步骤：

1）直接将趋势代入。当极限值为以下情况时可以直接得到结果：O，c，C/O，O/C，c/∞，∞/c，∞（其中c为非零常数）；

2）如果代入后不能得到以上形式的结果，则需要进行整理，常用手段如下：

①O/O型：约分、有理化、等价无穷小。

②∞/∞型：抓大头法、同除xa。

③幂指函数：第二个重要极限。

④数列形式：求和公式、分解抵消、夹逼准则。

⑤其他形式：多个项相加减时尝试通分。

3）利用第二步中的常用技巧处理原问题后再重复第一部代入尝试求解，如果不可行，再继续第二部，直到得到最终结果。

以上求解步骤随着高等数学后续深入学习，还会有其他方法加入进来，在此框架下，当遇到其他求解方法时只要加入以上步骤即可，学生最终复习时可以作为统一的求解思路，指导自己进行求极限的复习。

综上所述，极限作为高等数学的第一部分，其引入与讲授对于学生掌握高等数学思想，养成适合自己的数学学习方法是尤为重要的。因此本着培养实践型人才的理念，在单一的传统教学方式下进行教学上的创新，以极限的概念为切入点，寻求一些促进学生学习兴趣，打好高等数学学习基础的教学改进方法是很有意义的，并且是十分必要的。

本文初步给出了三种教学改进方法，并给出了具体的例子及总结。通过对极限的概念多角度的诠释，使得学生初学高等数学时容易接受，并养成开拓思维；通过与实践问题的结合，使得学生对知识点的应用更加灵活，理解更加深刻；通过对求极限方式的总结，使得学生对求极限的方法建立具体的框架，方便对题目的处理，并养成总结归纳的思维习惯。作者日后也将继续深入研究对于经管类专业高等数学教学的其他改进方式。