数学建模：赋予儿童数学学习自然生长的力量

焦世伟

所谓“数学建模”，是指在数学教与学中，运用数学的语言描述实际问题，用数学的思想、方法解决实际问题，进而将实际问题抽象成“数学模型”的过程。实施“数学建模”教学，不仅是引导儿童掌握数学知识的需要，而且是发展儿童数学思维、培养儿童数学眼光、形成儿童数学素养的需要。立足于“儿童立场”和“数学视野”，“数学建模”能够赋予儿童数学学习自然生长的力量。

一、从问题出发，激发儿童的建模兴趣

“问题”是数学的心脏，也是激发儿童数学思维的“起搏器”。数学教学中，教师要从数学问题出发，激发儿童数学建模的兴趣。“数学模型”是现实问题被抽象化、形式化后的数学结构。教师要让问题充满内在的张力，将问题设置于儿童的“最近发展区”，通过问题召唤，引领儿童展开数学化思考。例如教学“确定位置”（苏教版小学数学教材第10册），教学中教师首先要找准新知的生长点，将新知嫁接到儿童的旧知上。在小学一年级，孩子们曾经将物体排一排，这是在一维空间上的确定位置。从一维导向二维，教师可以出示班级座位图，让学生表示出班长的位置，这是儿童现实生活中的问题，有一种内在的驱动力。于是有的孩子用文字表示，有的孩子用符号表示，有的孩子用图形表示，等等。在不同的表征中，有的孩子先从左往右表示，有的孩子先从前往后表示，等等，由此出现了位置确定的表达混乱。为了统一，自然地生成了规定的表示方法，于是“数对”的概念自然创生，“用数对确定位置”的数学模型被自然建立。为了深化和拓展儿童模型化的数学思维，教师可由线而面、由面而体，将二维的平面图导向三维的立体图。通过出示立体的空间点子图，有孩子自然地提出从长、宽、高三个维度用三个数形成“数对”表示点的位置。模型化数学思维的逐步培养，让儿童形成了“用数学”的意识、方法和思想。儿童在解决实际问题的过程中形成了系统化的数学思维能力和综合素养。

二、从经验出发，丰富儿童的建模内容

儿童的数学建模建基于儿童的已有数学知识经验和生活经验。教学中，一方面，教师要发掘教材中的“模型因子”，善于寻找数学建模之“源”与“流”；另一方面，教师要让数学的模型对接儿童的生活经验，让儿童善于从自己的已有经验中找寻建模的主题内容，激发儿童数学创造的“场”。例如相同加数的和的简便运算就是乘法的建模内容；单价、数量与总价，速度、时间与路程，工效、工时与工总等也是乘法的建模内容；温度计的零上与零下、海平面以上和海平面以下等是正负数的建模内容；寻找数量间的相等关系是方程的建模内容；长方体、正方体、圆柱体的体积公式是直柱体体积公式的建模内容；堆放木头的根数就是梯形面积的建模内容；整数加减法、小数加减法、分数加减法等是“计数单位相同才能相加减”的建模内容，分数乘整数、整数乘分数以及分数乘分数等是分数乘法的建模内容；“转盘游戏”是统计与概率的建模内容，等等。不难看出，大部分数学知识内容本身就是一种数学模型。教学中，教师要引领儿童对实际问题进行简约、抽象，展开数学知识的“再创造”。通过数学建模，让儿童把握知识的来龙去脉、数学知识的本质，进而学会“数学地思维”，乃至“通过数学学习学会思维”。

三、从方法出发，展现儿童的建模过程

“数学建模”有“纵向建模”和“横向建模”之分。所谓“纵向建模”是指从问题的简单情形开始，逐步发现规律，进而用一种固定的模型表示出来。所谓“横向建模”是指从对某一问题的不断追问、举一反三中将某一题型归结为一个数学模型。在“数学建模”过程中可以采用比较法、图像法和逻辑推理法等，让儿童舍弃问题的非本质属性，凸显本质属性，形成纯数学结构。例如从长方形的面积公式模型可以推理出平行四边形的面积公式模型，从平行四边形的面积公式模型可以推理出三角形、梯形面积公式模型等。教学“圆的面积”，首先通过圆的内接正方形和外切正方形，得出圆面积大于半径平方的2倍而小于半径平方的4倍。在此基础上，引导儿童展开猜想。于是他们有的猜想圆的面积可能是半径平方的2倍多，有的猜想圆的面积可能是半径平方的3倍多，究竟哪种猜想正确呢？接着笔者引导儿童通过剪切、拼合的方法将圆转化成长方形、平行四边形、三角形或梯形等，推出圆的面积是半径平方的π倍。如此，孩子们洞悉了圆的面积和半径平方的关系，感悟到“把圆等分成的份数越多，圆的面积就越接近于平行四边形、长方形、三角形或梯形的面积”等的极限思想，建立了圆的面积的数学模型。由于儿童经历了“圆的面积”数学模型的建构过程，因此他们的数学观察、猜想、实验和分析的能力得到了提升。

总之，要将“数学建模”融入数学课堂教学之中，让儿童在不知不觉中发现问题、分析问题、解决问题，促进儿童数学知识的自主性建构和数学思想方法的内生性生长。

（作者單位：江苏扬州市邗江区杨寿学校）