新型球面并联人形机器人踝关节机构静力学性能分析

杨 龙 周玉林 马秋明

1.燕山大学机械工程学院，秦皇岛，0660042.一重集团天津重工有限公司，天津，300300

新型球面并联人形机器人踝关节机构静力学性能分析

杨 龙1周玉林1马秋明2

1.燕山大学机械工程学院，秦皇岛，0660042.一重集团天津重工有限公司，天津，300300

采用拆杆法建立机构的静力学平衡方程，考虑构件弹性，利用小变形叠加原理建立机构的变形协调补充方程，进而完成二自由度并联人形机器人踝关节机构的静力学分析。通过数值计算，得到在三种外载荷下构件上的各力与机构位姿的关系图。结果表明:外载荷为纯力时，支链1的受力很小，支链2的受力近似为零，而中心球面副支链的受力近似等于外载荷;外载荷为纯力矩时，三个支链的受力情况相似;外载荷为力和力矩时，支链1、支链2的受力情况与外载荷为纯力矩时的受力情况相似，中心球面副支链的受力为前两种情况的叠加。外载荷中的力成分主要由中心球面副支链承载，力矩成分由三个支链共同承载。该研究为该人形机器人踝关节机构在工程中的结构设计与应用提供了静力学参考。

人形机器人；踝关节机构；静力学；变形协调方程

0 引言

人形机器人是机器人技术领域最活跃的分支之一，而踝关节设计是人形机器人机械本体设计中的关键部分。

ALFAYAD等[1]提出了一种用于人形机器人踝关节的新型三自由度混联机构。SELLAOUTI等[2]提出了可以作为人形机器人关节的三自由度机构和具有并联髋关节、踝关节的双足机器人ROBIAN。VERRELST等[3]设计完成了由人工肌肉驱动的双足机器人LUCY，但是它的灵活控制较难实现。BUSCHMANN等[4]设计了一种用于双足机器人LOLA踝关节驱动的多连杆机构。俞志伟等[5]通过对人的踝关节运动机理分析，设计了一种新型的双足机器人踝关节并联机构。

目前，少自由度并联机构静力学方面的研究已经取得一定进展。李永刚等[6]利用虚功原理，建立了少自由度并联机构输入和输出广义力间的完整映射；崔冰艳等[7]采用虚功原理建立了一种基于二自由度正交球面并联机构的农业机器人新型肘关节的静力学传递方程；吴孟丽等[8]在传统的虚位移原理法中引入影响系数，并将其与广义坐标结合，分析了一种三自由度并联机器人的静力学问题；BIDAULT等[9]基于用圆柱副替换链接转动副的转换机构法，解决了一种三自由度并联机构的超静定问题，求得了每个构件的受力；周玉林等[10-11]利用弹性小变形叠加原理完成了三自由度、二自由度球面并联机构的静力学分析。

笔者提出一种二自由度并联人形机器人踝关节机构，该机构为8次超静定机构。本文采用拆杆法，建立了该机构的静力学平衡方程；基于构件弹性，利用小变形叠加原理建立变形协调补充方程；对二自由度并联人形机器人踝关节机构进行静力分析，求得机构中任意一点处的力、力矩与机构外载荷、机构位姿的解析关系。

1 二自由度并联人形机器人踝关节机构

如图1所示，二自由度并联人形机器人踝关节机构由三个运动支链组成。

1.动平台 2.弧形叉 3.拉杆Ⅰ 4.驱动滑块Ⅰ 5.机架 6.驱动滑块Ⅱ 7.拉杆Ⅱ图1 新型球面并联人形机器人踝关节机构Fig.1 Novel spherical parallel humanoid ankle mechanism

支链2由机架、驱动滑块Ⅱ、拉杆Ⅱ和动平台组成。拉杆Ⅱ由通过转动副B2连接的上下拉杆组成，转动副的轴线沿拉杆Ⅱ的长度方向。拉杆Ⅱ的上端、下端分别通过U副A2、U副C2与驱动滑块Ⅱ、动平台相连接。在初始位姿时，驱动滑块Ⅱ的轴线和拉杆Ⅱ的轴线组成的平面垂直于弧形叉的平面。

支链3为机架和动平台组成的中心球面副支链。在驱动滑块Ⅰ和Ⅱ的驱动下，动平台可以实现两个方向的摆动。

机构的公共约束数λ=0，阶数d=6-λ=6，冗余约束数υ=1，局部自由度数ζ=0，构件数n=8，运动副数g=9，代入修正的Kutzbach-Grübler公式，求得机构的自由度

(1)

取中心球面副的球心点O为坐标原点,建立与机架固连的固定坐标系OXYZ，其中，Z轴与机架轴线重合，指向竖直向下，Y轴与支链1的转动副轴线重合，指向如图1所示，X轴由右手法则确定。

2 静力学平衡方程

将踝关节机构受到的外载荷简化为过球心的力F和作用在动平台上的力矩M。将踝关节机构中所有的活动构件分离出来，分别建立其静力学平衡方程(不考虑摩擦和重力)。

(1)动平台与弧形叉的两个连接点处分别受三个力和两个力矩的作用，即F11、R11、P11、Mf11、Mr11和F12、R12、P12、Mf12、Mr12；动平台与拉杆Ⅱ的连接点处受到一个力R21的作用；动平台与机架的连接点(球心点)受到三个力F3、R3、P3的作用；u1i、v1i、w1i(i=1,2)和u21、v21、w21和u3、v3、w3分别为固定坐标系下的单位方向矢量，如图2所示。平衡方程为

(2)

式中，r为弧形叉半径。

图2 动平台受力模型Fig.2 Mechanical model of the moving platform

(3)

图3 弧形叉受力模型Fig.3 Mechanical model of the arc-shaped fork

(4)

式中，l1为拉杆Ⅰ的长度。

图4 拉杆Ⅰ受力模型Fig.4 Mechanical model of the drawbar Ⅰ

(5)

式中，l2为驱动滑块Ⅰ轴线到方向向量v14的距离。

图5 驱动滑块Ⅰ受力模型Fig.5 Mechanical model of the drawing slider Ⅰ

(6)

图6 拉杆Ⅱ受力模型Fig.6 Mechanical model of the drawbar Ⅱ

(7)

式中，l3为驱动滑块Ⅱ轴线与拉杆Ⅱ轴线之间的距离。

图7 驱动滑块Ⅱ受力模型Fig.7 Mechanical model of the drawing slider Ⅱ

由以上方程得到30个独立的静力学平衡方程。该机构具有8个过约束，超静定次数为8，需要补充8个变形协调方程。

3 变形协调方程及方程组求解

为了便于研究，不考虑各转动副处的变形和间隙，并采取以下假设：连续性假设即认为组成固体的物质毫无空隙地充满了固体的几何空间；均匀性假设即认为从构件内任取一部分，不论其体积大小如何，其力学性能完全相同；各向同性假设即认为固体在各个方向上的力学性能完全相同；除动平台为刚体外，机构的其他构件满足弹性小变形条件。

3.1 支链1传递到动平台的变形

驱动滑块Ⅰ的变形远远小于拉杆Ⅰ的变形，忽略不计。拉杆Ⅰ通过弧形叉传递到动平台的变形远远小于弧形叉直接传递到动平台的变形，所以，只考虑弧形叉的变形。

弧形叉的半径相对其截面尺寸较大，所以将弧形叉等效为直杆来分析它的变形[12]。弧形叉的轴向压缩(拉伸)变形和垂直杆件方向的剪切变形相对于扭转变形和弯曲变形而言较小，忽略不计。同时，转动副B1处的作用力对弧形叉的扭转变形和弯曲变形没有影响，忽略不计。为便于描述弧形叉的变形，将其拆分为杆1-1和杆1-2两段进行研究，如图8所示。

图8 弧形叉示意图Fig.8 Sketch of the arc-shaped fork

图9 杆1-i简化模型Fig.9 Simplified model of rod 1-i

Msi(φ)、Mmi(φ)、Mni(φ)为上述作用力引起的杆1-i任意截面φ处的力矩。当φ=90°时，Msi(φ)引起的扭转变形为θsi；Mmi(φ)引起的挠度变形为νmi、转角变形为θmi；Mni(φ)引起的挠度变形为νni、转角变形为θni。

所以，杆1-1和杆1-2与动平台连接点的线位移、可传递到动平台的角位移分别为

(8)

(9)

3.2 支链2传递到动平台的变形

在支链2的变形中，驱动滑块Ⅱ的变形远远小于拉杆Ⅱ的变形，所以不考虑滑块的变形。拉杆Ⅱ所受的作用力为轴向拉力，设上拉杆、下拉杆的拉伸变形分别为Δ21、Δ22。

三条支链的变形会使动平台产生微小的位姿调整，上拉杆相对于驱动滑块Ⅱ沿u24、v24方向分别存在一个牵连角位移e21、e22，下拉杆相对于上拉杆沿w23方向存在一个牵连角位移e23，则上下拉杆的实际角位移分别为

(10)

由牵连角位移引起上下拉杆产生的线位移分别为

(11)

式中，l4、l5分别为上拉杆、下拉杆的长度。

根据小变形叠加原理，下拉杆与动平台的连接点处的线位移、角位移分别为

(12)

3.3 支链3传递到动平台的变形

图10 机架的简化模型Fig.10 Simplified model of rack

Δ3=vf3u3+vr3v3+vp3w3

(13)

3.4 动平台角位移与球心点线位移

踝关节机构三条支链的变形会使动平台产生微小的位姿调整，假设动平台相对于机架沿u3、v3、w3方向的角位移分别为e01、e02、e03，则动平台的角位移、动平台与弧形叉的两个连接点的角位移可以表示为

(14)

动平台为刚体，球心点的线位移Δ0是唯一的。三条支链与动平台连接处的线位移与动平台角位移的关系如图11所示。

图11 位移矢量关系Fig.11 Relationship between displacement vectors

所以，球心点的线位移有以下4种表达形式：

(15)

动平台上每一点的角位移相等，并且每一支链对应的球心点的线位移相等，即

(16)

联立式(2)～式(7)、式(16)的第一、三、四式，可得38个独立方程，用Maple软件求得全部38个未知力和未知力矩。

分别对各个运动副处的力和力矩的矢量和求模，可得到各个运动副处的合力和合力矩。

4 单位外载荷下构件上力的数值计算

取机构的参数如下：弧形叉半径r=70 mm，截面尺寸h=10 mm、b=10 mm，上下连杆长度l4=l5=10 mm，机架直径d=10 mm，长度l6=170 mm，材料为45钢。

限于篇幅，在此给出3种外载荷下，动平台绕X0轴、Y0轴的旋转角度φX、φY分别在[-π/4，π/4]内，计算步长为π/30，支链1中3个转动副A1、B1、C1处的力f1j和力矩M1j(j=1,2,3)，支链2的拉力f2，支链3球心点处的力f3分别与机构位姿φX、φY的变化关系图。

(a)力f11

(b)力f12

(c)力f13

(d)力矩M11

(e)力矩M12

(f)力矩M13

(g)力f3

(a)力f11

(b)力f12

(c)力f13

(d)力矩M11

(e)力矩M12

(f)力矩M13

(g)力f2

(h)力f3

(a)力f11

(b)力f12

(c)力f13

(d)力矩M11

(e)力矩M12

(f)力矩M13

(g)力f2

(h)力f3

结果表明：外载荷为纯力时，支链1的受力很小，支链2的受力为零，而中心球面副支链的受力近似等于外载荷；外载荷为纯力矩时，三个支链的受力情况相似；外载荷为力和力矩时，支链1、支链2的受力情况与外载荷为纯力矩时的受力情况相似，中心球面副支链的受力为前两种情况的叠加。外载荷中的力成分主要由中心球面副支链承载，力矩成分由三个支链共同承载。

5 结论

(1) 提出了一种新型球面并联人形机器人踝关节机构，并解决了其静力学8次超静定问题。

(2) 得到在三种外载荷条件下构件上的力、力矩与机构位姿的关系图，形成该踝关节机构静力计算的数学基础。

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(编辑 袁兴玲)

Statics Property Analyses of a Novel Spherical Parallel Humanoid Robotic Ankle Mechanism

YANG Long1ZHOU Yulin1MA Qiuming2

1.School of Mechanical Engineering, Yanshan University，Qinhuangdao，Hebei,066004 2.CFHI Tianjin Heavy Industry Co., Ltd.，Tianjin，300300

By the dismantle-bar method, the statics equilibrium equations of the mechanism were set up, considering the elasticity of member and then utilizing the micro-deformation and superposition principle, the deformation equations of compatibility were derived and then the statics analyses of the 2-DOFs parallel humanoid robotic ankle mechanism were fulfilled. As a numerical example, some figures which showed the relationship among each force on each member and the position and posture of the mechanism were drawn under three kinds of external loads, respectively. The results show that, under the external forces only, the forces acting on branched chain 1 are very small, the forces acting on branched chain 2 are approximately zero, and the forces acting on central spherical pair branched chain approximately equal to the external force. Under the external torques only, the force conditions of three branched chains are similar. Under external forces and torques, the force conditions of branched chain 1, 2 are similar to the force conditions that under the external torques only, the forces acting on central spherical pair branched chain are the superposition of the two forces in the above two cases. The force portions of external load are mainly carried by central spherical pair branched chain, the torque portions are jointly carried by three branched chains. The research provides a theoretical basis of statics for structure design and applications of this humanoid robotic ankle mechanisms in engineering．

humanoid robot; ankle mechanism; statics; deformation equation of compatibility

2016-05-18

国家自然科学基金资助项目(51275443)

TP24

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.07.013

杨 龙，男，1988年生。燕山大学机械工程学院博士研究生。主要研究方向为人形机器人及仿生学。周玉林(通信作者)，男，1961年生。燕山大学机械工程学院教授、博士研究生导师。E-mail：zyl@ysu.edu.cn。马秋明，男，1988年生。一重集团天津重工有限公司助理工程师。