让抛物线的准线解题“给力”

摘要：本文通过举例说明了如何利用抛物线的准线来解决焦点弦的相关问题，阐明了如何进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化

关键词：抛物线；准线；等价转化

作者简介：邢怀勇 （1975-）， 男，本科，中学一级教师，主要从事数学解题方法的研究.

我们先看抛物线的概念：平面內与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线（定点F不在定直线l上）.定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.若能重视定义在解题中的应用，灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化做到“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，那么 解决抛物线焦点弦有关问题时就可避免繁琐的推理与运算，使解题变得轻松简单.下面试举几例加以说明.

例1（2008·辽宁）已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为 （）

A172B3C5 D92

解析如图1所示，由抛物线的定义知，点P到准线x=-12的距离d 等于点P到焦点的距离|PF|因此点P到点（0，2）的距离与点P到准线的距离之和可转化为点P到点（0，2）的距离与点P到点F的距离之和，其最小值为点M（0，2）到点F12，0的距离，则距离之和的最小值为4+14=172

点评此处利用抛物线的定义，把点P到准线x=-12的距离d 等价转化为点P到焦点的距离|PF|，从而构造出M、P、F三点共线时出现距离和的最小值，充分体现出“看到准线想焦点，看到焦点想准线”的妙处.

例2如图2所示，过抛物线y=14x2焦点F的直线交抛物线与圆x2+（y-1）2=1于A、B、C、D四点，则|AB|·|CD|=

解析设A（x1，y1），B（x2，y2），∵y=14x2的准线方程为y=-1

由抛物线的定义知|AF|= y1+1， |DF|= y2+1

则|AB|·|CD|=（|AF|-1）（|DF|-1）=（y1+1-1）（y2+1-1）=y1y2

又由y=kx+1x2=4yy2-（2+4k2）y+1=0y1y2=1

点评本题若用直线方程的点斜式与抛物线方程联立求出A、D两点的坐标，再由直线方程和圆的方程联立，求出B、C的坐标实施运算，不仅繁琐而且容易迷失解题方向.此处巧用抛物线的准线，将|AF|的长度表示为 y1+1，|DF|的长度表示为 y2+1，使问题轻松获解.当然，做为一个填空题，我们也可以小题小做，取过点F的直线y=1，分别求出A、B、C、D各点的坐标代入计算即可.

例3已知直线y=k（x+2）（k>0）与抛物线C∶y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）

A13B23C23D223

解法一将y=k（x+2）代入y2=8x得k2x2+（4k2-8）x+4k2=0

设交点的横坐标分别为xA，xB，则xA+xB=8k2-4，① xA·xB=4

又∵|FA|=xA+2，|FB|=xB+2， |FA|=2|FB|，

∴2xB+4=xA+2∴xA=2xB+2②

将②代入①得xB=83k2-2，

xA=163k2-4+2=163k2-2

故xA·xB==4

解得k2=89，而k>0，∴k=223，则满足Δ>0故选D

解法二设抛物线C∶y2=8x的准线为l∶x=-2直线 y=k（x+2）（k>0）恒过定点P（-2，0） 如图3过A、B分别AM⊥l于M，BN⊥l于N， 由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|，点B为AP的中点连结OB，则|OB|=12|AF|， ∴|OB|=|BF|点B的横坐标为1， 故点B的坐标为（1，22）∴k=22-01-（-2）=223， 故答案选D

点评显然第二种解法的运算量要小的多，关键还是抛物线的准线解题“给力”，通过抛物线的定义，

借助准线把|FA|=2|FB|过渡到|OB|=12|AF|，进而求出点B的坐标，利用两点求出k值，可谓巧矣.

尝试练习

已知点C为y2=2px（p>0）的准线与x轴的交点，点F为焦点，点A，B为抛物线上两个点，若FA+FB+2FC=0，则向量FA与FB的夹角为

解答提示∵FA+FB+2FC=0，

∴FA+FB=2CF

∵点C为y2=2px（p>0）的准线与x轴的交点，由向量的加法法则及抛物线的对称性可知，点A，B为抛物线上关于x轴对称的两点且作出图形如图4所示，其中AD为点A到准线的距离，四边形AFBG为菱形，

∴|FE|=|FC|=p

∴|AF|=|AD|=2p

∴∠AFE=π3

∴∠AFB=2π3

∴向量FA与FB的夹角为2π3