近年高考数学卷中的一些创新题

2017-06-12乔建基

高中生·高考指导 2017年5期

乔建基

专题策划：你会解答这些高考数学创新题吗

编者按：创新题具有极好的区分度和选拔功能，是考查数学能力的绝佳题型，从近几年全国卷的命题来看，高考对创新题的考查具有一脉相承、整体稳定和适度创新的特征，本专题通过总结近年高考数学卷中的一些创新题，以退为进寻找创新题的突破口。并分类导析近年来的考查热点——阅读理解型创新题，以期帮助考生轻松解答好高考创新题。

一、形式上创新

1.引入较陌生的图形元素，如2016年高考全国新课标卷一的柱状图、卷三的折线图等，

例1（2016年高考全国新课标卷一理科卷第19题）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时。可以额外购买这种零件作为备件，每个200元，在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元，现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数。得到柱状图如图1所示。

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数。n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数。

（I）求X的分布列，

（Ⅱ）若要求P（x≤n）≥0，5，确定n的最小值，

（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？

分析

第（I）问先根据柱状图确定x的所有可能取值，然后利用独立事件概率模型求出相应的概率，可得x的分布列；第（Ⅱ）问对概率大小进行比较；第（Ⅲ）问分别求出n=19与n=20的期望，比较即可。

小结

考生需在读图时弄清横坐标与纵坐标的含义、图中的数量关系、数形间的变化趋势等，在解题时善于全面分析和解决问题_在本题中，考生要注意将复杂事件拆分为简单的互斥事件之和的形式求解。

2.引入多个数表元素，如2015年高考全国新课标卷一文科卷和理科卷第19题、2016年高考全国新课标卷二文科卷和理科卷第18题等。

例2（2016年高考全国新课标卷二理科卷第18题）某险种的基本保费为。（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：

（I）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率。

（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率，

（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值。

分析第（I）问可利用互斥事件的加法公式求解；第（Ⅱ）问可根据条件概率的公式进行求解；第（Ⅲ）问写出保费的分布列，计算出其均值EX来解决问题。

小结读数表时考生需弄清各表中的对应关系，挖掘出各表对应关系之间的内在联系，这是解这类题的突破口与关键。

二、内容上创新

1.引入数学文化，如2015年高考全国新课标卷一文科卷和理科卷第6题、2016年高考全国新课标卷二文科卷第9题和理科卷第8题等，

例3（2015年高考全国新课标卷一文科卷和理科卷第6题）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图2，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有。

A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛

分析根据圆锥的体积公式进行计算，

参考答案B

小结考生需深刻理解数学文化的内涵，理清数量关系、运算关系等，并运用相关知识进行求解，

2.设计新定义情境，如2016年高考全国新课标卷二文科卷第17题、卷三理科卷第12题等。

分析

先理解“规范01数列”。然后利用分类加法计数原理，结合新定义进行计数。

参考答案C

小结运用新定义的关键在于抓住新定义中的數量关系以及制约条件，以此为解题的切入点，在本题中，按前四项0的分布情况进行分类，遵循不重不漏的原则进行计数。

分析仅利用偶函数的性质和特殊点验证法不能确定答案时，需在此基础上嫁接导数法求解。

参考答案D

小结逻辑推理方法与特殊验证排除法相嫁接，用于解决客观题；数学思想与方法的交融嫁接，用于解决主观题，突出理性思维，彰显数学素养。