函数思想在解题中的应用

2017-06-10刘彦姗

文理导航·教育研究与实践 2017年5期

刘彦姗

【摘要】函数对于数学体系来说就像一把钥匙，能够帮助我们打开很多其他问题的大门，函数简单来说就是一种特殊的映射，是一种特殊的对应关系。通过对函数的介绍了解到函数的大致分类，并对其应用做了简单的举例说明。

【关键词】函数；分类；应用

前言

在数学学习中构建起函数思想非常重要，函数就是一种工具，通过一些转换关系可以把很多问题都用函数关系表示，使得问题简单化，从而得到解决。善于运用函数思想能够拓宽解题的思路，帮助我们分析问题，更好的去解决问题。所以要学会用函数思想去思考数学问题。

1.函数的概述

1.1什么是函数及函数思想

函数从其本质上来说是一种对应关系，这种对应关系建立在输入值与输出值之间。从集合的角度来说，就是一个集合里的每一项都能从另一个集合里找到唯一的与之对应项，即两个非空数集上的单值对应，这就体现出了函数的一种特性，一一对应，如图1-1所示。函数输入值所在的集合叫做这个函数的定义域（图1-1中 A），输出值的集合叫做这个函数的值域（图1-1中 B）。通常函数用f（x）表示。

A 图 1-1 B

在我们的数学教材上是这样定义函数的，设x，y是两个变量，当x在某个数集D内取任意一个定值，按照某个确定的对应关系f，y都有唯一的值与x对应，那么我们就说x是自变量，y是变量x的函数。我们通常将y是x的函数记作：y=f（x），x∈D。这样就体现出了构成函数的三要素，定义域、值域、对应法则。

在了解什么是函数之后，我们来讨论一下函数思想，函数思想就是一种数学思想，它是一个动态的过程，利用这样的思想我们能够分析和解决许多数学中常见的问题。首先要构建起相应的函数模型，找到它们一一的对应关系，去分析、解决问题。所以说，函数思想在很多时候都能简化我们所遇到的数学问题，我们要学会综合利用函数思想解答问题。

1.2常见的函数分类及性质

在解题过程中有很多函数是我们常见的函数，包括反函数，隐函数，多元函数，二次函数、一次函数、三角函数。

在解题中我们经常会用到函数的性质，包括函数的有界性、函数的单调性、函数的奇偶性、函数的周期性、函数的连续性、函数的凹凸性。

2.函数思想在解题中的应用

2.1利用函数图像解决问题

常用的函数图像变换有：平移变换、对称变换、翻折变换。

举例说明：若f（x）的图象过（0，1）点，则f-1（x）的图象过____点，f（x+1）的图象过____点，f-1（x+1）的图象过____点。

分析：由于f（x）的图象与f-1（x）的图象关于直线y=x对称，所以f-1（x）的图象过（1，0）点。

f（x+1）的图象是由f（x）的图象向左平移一个单位得到，而f（x）的图象过（0，1）点，所以f（x+1）的图象过（-1，1）点。f-1（x+1）的图象是由f-1（x）的图象向左平移一个单位得到，而f-1（x）的图象过（1，0）点，所以f-1（x+1）图象过（0，0）点。

这道题就是通过平移变换的方法快速找到答案。

2.2利用函数解决数列问题

首先对于什么是数列做一个大概的介绍，数列就是按一定次序排列的一列数。数列是由项构成的，项就是数列中的每一个数。在一个数列中，排在第一位的叫做数列的第一项，以此类推，排在第n位的叫这个数列的第n项。在解决数列的相关问题时候，我们常常采用函数而思维方法，对数列进行分析。