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稳扎稳打踩点解答

2017-06-10钟珍玖

初中生世界·九年级 2017年5期
关键词:壁虎勾股定理评析

钟珍玖

图形的平移、翻折、旋转是初中阶段最为常见的三种图形的变换,是数学中考的重点内容和必考内容之一.这类问题的特点是图形复杂多变,涉及的知识点多,难度较大,但也有一定的解题方法和技巧.抓住问题的本质,踩点解答,则可化难为易.

例1 (2015·宁夏)如图1,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(0,4),△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′,点A的对应点A′是直线y=[45]x上一点,则点B与其对应点B′间的距离为 .

【考点】图形平移的性质,一次函数图像与性质.

【解答】由平移的性质可知,OA=O′A′,所以O′A′=4,点A′是直线y=[45]x上一点,y=4时,x=5,所以AA′=BB′=5.

【评析】对于图形的平移要抓住平移的特征:对应点的连线平行(或在同一直线上)且相等,平移前后的图形全等.

例2 (2015·常州)将一张宽为4cm的长方形纸片(足够长)折叠成如图2所示图形,重叠部分是一个三角形,则这个三角形面积的最小值是( ).

A.[833]cm2 B.8cm2

C.[1633]cm2 D.16cm2

【考点】等腰三角形的判定,垂线段最短,轴对称图形性质.

【解答】把折叠的纸片还原(如图3),由轴对称的性质“成轴对称的两个图形全等”,可得∠1=∠2,易得∠1=∠ABC,所以∠ABC=∠2,AB=AC.又AB边上的高是定值(纸片的宽),要使三角形的面积最小,只需线段AB最短,也就是线段AC最短,此时AC⊥AB,AC=AB=4,三角形的面积为8,选B.

【评析】图形的折叠的特征就是折叠的两部分全等,利用对应边、对应角相等来解决问题.

例3 如图4,圆柱形容器,高为1.2m,底面周长为1m,在容器内壁距容器底部0.3m的点B处有一蚊子,此时一只壁虎正好在容器外壁,在离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处,则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 m.(容器厚度忽略不计)

【考点】勾股定理,圆柱的侧面展开.

【解答】因为壁虎与蚊子在相对的位置,则壁虎在圆柱侧面展开图矩形两边中点的连线上,如图5所示,要求壁虎捉蚊子的最短距离,实际上是求在EF上找一点P,使PA+PB最短,过A作EF的对称点A′,连接A′B,则A′B与EF的交点就是所求的点P,过B作BM⊥AA′于点M,在Rt△A′MB中,A′M=1.2,BM=0.5.

所以A′B=[A′M2+BM2]=1.3,

所以壁虎捉蚊子的最短距离为1.3m.

【评析】先运用化立体为平面的思想,把问题转化为平面问题,然后利用轴对称的性质把直线同侧的两点A、B转化到直线EF的两侧,利用三点共线时线段和最短来求PA+PB的最小值.

例4 如图6,矩形ABCD中,AD=5,AB=7.点E为DC上一个动点,把△ADE沿AE折叠,如果点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上,求DE的长.

【考點】矩形的性质,等腰直角三角形性质,勾股定理.

【解答】过D′作D′F⊥AB交AB于F,延长FD′交CD于G.

如图6(1),由翻折得△EDA≌△ED′A,

则ED=ED′,AD=AD′=5,

设AF=x,则BF=7-x,在Rt△BD′F中,因为D′B是∠ABC的平分线,所以∠ABD′=45°,则D′F=BF=7-x,

在Rt△AD′F中,AD′2=AF2+D′F2,即52=(7-x)2+x2,解得x=4或x=3,即D′F=BF=3或4.

当x=4时,如图6(1),设DE=y,在Rt△D′GE中,EG=4-y,ED′=y,GD′=2,即(4-y)2+22=y2,解得y=[52],即DE=[52].

当x=3时,如图6(2),设DE=y,在Rt△D′GE中,EG=3-y,ED′=y,GD′=1,

综上所述,DE的长为[52]或[53].

【评析】翻折后图形常常比较复杂,要善于在复杂的图形中找到基本图形,运用勾股定理和三角形相似是求线段长度的基本方法.

例5 在平面直角坐标系中,O为原点,点A(-2,0),点B(0,2),点E、F分别为OA、OB的中点.若正方形OEDF绕点O顺时针旋转,得正方形OE′D′F′,记旋转角为α.

(1)如图7(1),当α=90°时,求AE′、BF′的长;

(2)如图7(2),当α=135°时,求证:AE′=BF′,且AE′⊥BF′;

(3)若直线AE′与直线BF′相交于点P,求点P的纵坐标的最大值.(直接写出结果即可)

【考点】正方形的性质,旋转性质,勾股定理,全等三角形判定和性质,解直角三角形.

【解答】(1)当α=90°时,点E′与点F重合.

∵点E、F分别为OA、OB的中点,

∴OE=OF=1.

∵正方形OE′D′F′是正方形OEDF绕点O顺时针旋转90°得到的,

∴OE′=OE=1,OF′=OF=1.

在Rt△AE′O中,

AE′=[OA2+OE′2]=[22+12]=[5].

在Rt△BOF′中,

BF′=[OB2+OF′2]=[22+12]=[5].

∴AE′、BF′的长都等于[5].

本题共10分,其中第(1)题3分,由中点定义写出OE=OF=1得1分,用两次勾股定理求出AE′、BF′的长都等于[5]再得2分.

(2)∵正方形OE′D′F′是由正方形OEDF绕点O顺时针旋转135°所得,

∴∠AOE′=∠BOF′=135°.

在△AOE′和△BOF′中,

[OA=OB,∠AOE′=∠BOF′OE′=OF′,],

∴△AOE′≌△BOF′.

∴AE′=BF′,且∠OAE′=∠OBF′.

∵∠ACB=∠CAO+∠AOC=∠CBP+∠CPB,∠CAO=∠CBP,

∴∠CPB=∠AOC=90°,

∴AE′⊥BF′.

第(2)题共4分,利用全等三角形的判定得出△AOE′≌△BOF′得2分,由全等三角形性质得出AE′=BF′,且∠OAE′=∠OBF′再得1分,得出AE′⊥BF′可得1分.

(3)在第一象限内,当点D′与点P重合时,点P的纵坐标最大.

过点P作PH⊥x轴,垂足为H,如图7(3)所示.

∵∠AE′O=90°,E′O=1,AO=2,

∴∠E′AO=30°,AE′=[3],

∴AP=[3]+1.

∵∠AHP=90°,∠PAH=30°,

∴PH=[12]AP=[3+12],

∴点P的纵坐标的最大值为[3+12].

写出点P纵坐标的最大值可直接得3分,不需要写出解答过程.

【评析】图形的旋转是一个动态的问题,需要动手画图探究运动过程.第(2)小题是一个推理问题,每个步骤都应该有依据,涉及定理运用的部分要把符号语言书写规范.

对于图形变化类问题要充分运用平移、翻折、旋转的特征,踩准关键点,找到解题的突破口,在解答时凡是涉及法则、定义、定理时,都要规范书写,避免不必要的失分.

(作者单位:江苏省江阴市第一初级中学)

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