善总结速解题

2017-06-10王玲霞

初中生世界·九年级 2017年5期

王玲霞

“图形变换”属于“图形与几何”领域的内容，主要涉及图形的轴对称、平移、旋转、相似、位似与视图等知识，是中考的热门考点，因为这部分知识既可以考查我们对基本图形本质的理解，又能培养我们的实践与操作能力，形成空间观念和运动变化的意识.这类问题怎样快速求解呢？我们从以下几道典型例題进行剖析.

一、轴对称

轴对称知识在中考中一般以图形的折叠方式呈现，包括三角形、矩形、菱形、正方形、圆的折叠，解题策略是“折叠→全等→勾股或相似”，折叠后所有对应的线段和角相等，无论是“勾股”还是“相似”都是为了找到未知量与已知量之间的等量关系列方程求解.

例1 （2016·安徽）如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=6，AD=10，点E在CD上，将△ADE沿AE折叠，点D恰落在边BC上的点F处，点G在BF上，将△ABG折叠，点B恰落在线段AF上的点H处，有以下结论：（1）∠EAG=45°；（2）△CEF∽△BAG；（3）S△ABG=[23]S△FGH；（4）BG+CF=FG，其中正确的是 .（把所有正确结论的序号都选上）

【解析】由折叠得到相等的角和相等的线段，结合矩形的性质可求∠EAG的度数.在Rt△CEF和Rt△FGH中根据勾股定理建立方程，分别求出CE、GH、FG的长，根据相似三角形的判定方法对（2）作出判断，根据三角形面积公式对（3）作出判断，（4）可以根据各线段的长度直接进行判断.

【简解】由折叠知∠BAG=∠FAG，∠FAE=∠DAE，∴∠EAG=[12]∠DAB=45°，（1）正确；由勾股定理结合方程思想易得CE=[83]，BG=3，易得△CEF与△BAG不相似，（2）错误；通过面积计算，易得（3）正确；BG+CF=3+2=5=FG，（4）正确.故填（1）（3）（4）.

【点评】凡涉及折叠的问题，寻找到对应角和对应边是关键.在直角三角形中，根据勾股定理建立方程，求出直角三角形的三边长，这是常用的方法之一.

二、旋转

旋转问题是热点问题，一般来说，只要涉及“共顶点的相等线段”就有了旋转的基础，进而可构造全等或者相似三角形.

例2 如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是 .

【解析】题中恰好有“共顶点的相等线段”AB=AD，于是可以考虑将△ABC绕点A逆时针旋转90°得△ADE（图2（1）），这样四边形ABCD的面积就转化成直角梯形EACD的面积，一切迎刃而解了！

【简解】由旋转得△ACB≌△AED，设BC=a，可得四边形ABCD的面积=10a2，如图2（2），补图形易证四边形ACFE为正方形，得x=5a，所以y=[25]x2.

【点评】在学习相似时，有一个非常重要的模型是“一线三等角”，如下图.

可以作DF⊥AC，再将△AFD绕AD的中点旋转180°即可（图2（3）），也能解决问题.由此可见，有动态的思维习惯，解题更加便捷.

三、相似

相似在初中数学中所占比例大，难度也高，是中考必考的内容，我们要掌握常见类型如A型相似、X型相似、一线三等角、子母型相似，常见辅助线，如作平行线构造相似，作高求解等.在解决相似问题时较难的是将相似作为一种策略.

例3 如图3，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线，则[CEBC]= .

【解析】通常情况下：从结论着手，BC=2，只要知道CE长即可，而在Rt△BEC中只有∠BEC=90°，BC=2，不能求出CE长，此时需借助一个已知三角形，结合切线长定理及基本图形.连接AO，如图4，得Rt△ABO，易证△ABO∽△BEC，所以[CEBC]=[BOAO]=[110]=[1010].

【点评】题目中没有现成的相似三角形，就要我们添线构造，而要想到“相似”，就要在平时的学习中勤于思考和总结.

四、解直角三角形

这个知识点的应用有非常强烈的个性，就是一定要紧扣定义，将锐角放置于一个直角三角形中，如果没有就要创造条件，即通过作辅助线构造直角三角形.另外这类题目在中考中的呈现越来越生活化.请看：

例4 （2016·白银）图5是小明在健身器上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图6是小明锻炼时上半身由ON位置运动到与地面垂直的OM位置时的示意图，已经AC=0.66米，BD=0.26米，α=20°.（参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）

（1）求AB的长；（精确到0.01米）

（2）若测得ON=0.8米，试计算小明头顶由N点运动到M点的路径[MN]的长度.（结果保留π）

【解析】本题考查解直角三角形和弧长的计算公式，解题的关键是构造直角三角形.（1）见图7，借助于20°这一条件，把20°和AB边共同放置于一个直角三角形中，即过点B作AC的垂线段，设垂足为F，在直角△ABF中，利用三角函数求解；（2）[MN]是以点O为圆心，ON为半径的圆中的一条弧且所对的圆心角是110°，利用弧长公式进行计算即可.

【答案】AB≈1.17（米），l弧MN=[2245π]（米）.

【点评】在一般三角形中已知一些边和角，求另外的边长的问题，通常都是通过作垂线，构造直角三角形，运用解直角三角形的知识来解决问题.对于弧长的计算，一是要知道弧所在圆的半径，二是要知道圆心角的度数，再利用弧长公式进行计算.

五、投影

投影是相似知识的应用之一，分为中心投影和平行投影.中心投影是物体在点光源下的投影，平行投影是在太阳光等平行光线下的投影，这个知识经常和行程问题“联手”考查大家，非常有意思，请看：

例5 （2015·镇江）某兴趣小组开展课外活动，如图8，A、B两地相距12米，小明从点A出发沿AB方向匀速前进，2秒后到达点D，此时他（CD）在某一灯光下的影长为AD，继续按原速行走2秒到达点F，此时他在同一灯光下的影子仍落在其身后，并测得这个影长为1.2米，然后他将速度提高到原来的1.5倍，再行走2秒到达点H，此时他（GH）在同一灯光下的影长为BH（点C、E、G在一条直线上）.

（1）请在图8中画出光源O点的位置，并画出小明位于点F时在这个灯光下的影长FM（不写画法）；

（2）求小明原来的速度.

【解析】（1）利用光的直线传播原理，确定光源O点位置；（2）由两对相似△OCE∽△OAM，△OEG∽△OMB得比例关系，建立关于速度的方程，解之即可.

【简解】（1）延长AC、BG相交于点O，延长OE交AB于点M，如图9，则点O、FM即为所作.

（2）设小明原来的速度为xm/s，则AD=DF

=CE=2x（m），FH=EG=3x（m），AM=（4x-1.2）m，BM=（12-4x+1.2）m.

由△OCE∽△OAM，△OEG∽△OMB.

∴[CEAM]=[OEOM]，[EGMB]=[OEOM].

得：[2x4x-1.2]=[3x13.2-4x].

解得x1=1.5，x2=0（不合题意，舍去），

经检验，x=1.5是原方程的解，故x=1.5.

答：小明原来的速度为1.5m/s.