精心设计数学实验培养学生数学研究能力

2017-06-05徐彩娥

江苏教育 2017年27期

徐彩娥

精心设计数学实验培养学生数学研究能力

徐彩娥

高中数学实验不仅要求用数学知识解决各种各样的实际问题，更重要的是强调在解决问题中获得运用数学的体验和经验，感受数学的价值，增强应用意识和应用能力。本文结合案例，论述从操作性数学实验、思维性数学实验和计算机模拟实验三个方面精心设计数学实验，培养学生的数学研究能力。

高中数学实验；操作性数学实验；思维性数学实验；计算机模拟实验

高中数学实验是根据国家课程标准、学生认知水平及数学教学思想发展的脉络，创设问题情境，充分利用实践手段、设计系列问题、增加辅助环节，在教学思维活动的参与下引导学生主动、积极、批判地思考，给出验证和理论的证明，从而使学生亲历数学建构，逐步把握认识事物与真理的方式方法，培养学生创造能力和科学研究意识，提高数学素养的一种探索活动。江苏省太仓高级中学数学团队根据高中的教学内容精心设计高中数学实验，有计划、有步骤、有目的地开设高中数学实验课程。我们将高中数学实验依据开展形式，分为操作性数学实验、思维性数学实验和图形计算器模拟实验三类。下文就对这三种数学实验的教学设计进行详细分析。

一、操作性数学实验

操作性数学实验教学是根据数学实验的目的和要求，教师指导学生通过动手操作，制作或使用一些简单的工具，验证数学结论或假设、进行探究数学知识的教学活动。操作性数学实验按照实验目的分为验证式的数学实验和理解式的数学实验。

1.验证式的数学实验设计。

验证式实验的目的并不是让学生探索数学知识，而是让学生通过实验验证数学结论或了解公式的应用。

【案例1】椭圆定义的应用。

（1）实验设计：在圆形纸片内部设置一个不同于圆心的一点，折叠纸片，使圆周的边界上有一点与该点重合，重复这个过程数次，形成一系列折叠，它们整体地勾画出一条曲线的轮廓。

（2）实验目的：会用椭圆定义来解释实验的现象，加深对椭圆定义的深刻理解，激发学生对数学的兴趣，培养数学应用能力和论证能力。

图1

（3）现象与解释：

经过观察，可以猜想众多折痕围出的图形是椭圆。

证明：如图1所示，∵M，O关于直线AB对称，∴PO＝PM，

∴PC＋PO＝PC＋PM＝r，即椭圆上的点到圆心C与另一个定点O的距离和等于圆的半径。

2.理解式的数学实验设计。

理解式实验主要针对一些很难直观想象的数学公式、定理和结论，通过制作实验模型或操作其变化过程，达到直观、便于理解的目的。

【案例2】圆锥曲线的探索。

（1）实验设计：从手电筒打出的光束是呈圆锥形，当光束打到墙面上时，光斑的边缘就形成了一条曲线，画出手电筒光束形成的圆锥曲线，并写出对应的方程。

（2）实验目的：通过观察平面截圆锥面的情境，获得自身体会，使得学生对圆锥曲线的概念有一个感性的认识，由此引出圆锥曲线的概念。

（3）实验工具：手电筒、一张纸。

（4）实验过程：

①在一张纸上画出直角坐标系，并把它贴到墙上；

②手电筒垂直照向纸，使光束在纸上形成一个圆，并使光束的中心在原点，然后保持手电筒不动，描出光斑的边缘，测量出半径，写出圆方程；

③改变手电筒与墙面的夹角，使得光斑形成一个椭圆，并使得对称轴位于竖直方向，中心在原点，然后保持手电筒不动，描出椭圆的形状，测量出长轴、短轴的长，写出它的方程。

④用类似上述的方法，探索还能得到其他哪些曲线。

（5）现象和解释：

手电筒发出的光束形状可以近似看成一个圆锥，设圆锥的母线与轴线的夹角为α，纸面与轴线的夹角为β。（如图2）

图2

当β=90°时（即手电筒垂直与纸面时），光束在纸上形成一个圆。

改变纸面与圆锥轴线的夹角，当β=α时（即手电筒与圆锥的母线纸面平行时），光斑形成的图形形状是抛物线。

当手电筒既不与纸面垂直，纸面又不与圆锥的母线平行时，需要分两种情况讨论：

当β＞α时，光斑形成的图形是椭圆；

当 β＜α时，光斑形成的图形是双曲线的一支。

二、思维性数学实验

思维性数学实验又称为“探索建构式”实验，它是通过对数学对象的不同变化形态下的展示，创设问题情境，引导学生运用思维方式探究数学知识、检验数学结论（或假设）的教学活动。思维性的数学实验重在思维训练，实验分四个阶段进行：探究情境的创设，学生形成问题，确认研究中的问题，对问题做出解释。

【案例3】苏教版高中数学必修4中“实习作业”：制作烟囱弯头（如图3，单位：cm），不考虑焊接处的需要，选用的矩形铁片应满足怎样的尺寸？请你设计一个最合理的裁剪方案。（在矩形铁片上画出的裁剪线应是什么图形？）

图3

1.实验设计。

（1）安排制作直角烟道模型的课前实践活动，在利用火腿肠制作烟道模型的过程中，通过斜切火腿肠、观察截面椭圆的展开图，增加感性认识，为进一步的理性分析打下基础；

（2）利用TI计算器进行函数模型拟合分析，让学生应用信息技术验证猜想，为推理证明埋下必要的线索；

（3）加强自主探究、合作交流活动，将每个学生的作业即时投射到大屏幕上，为课堂中的师生、生生互动提供材料，并引导学生观察、比较、分析。

2.实验目的。通过烟囱弯头的设计，不仅让学生感受“数学源于生活又服务于生活”，而且促使学生将所学的圆柱的侧面展开图、二面角、直线与平面的关系等立体几何知识和y=Asin（ωx+φ）+ B的图象与性质方面的知识联系起来，培养学生的数学应用能力和创新能力。

3.实验工具：火腿肠、美工刀1把、矩形纸片一张、TI计算器。

4.实验过程：

（1）课前探究。

第一步：先切去火腿肠两头，将其切成一个圆柱体，再将圆柱体按约45°斜切成两段，拼成一个直角烟道的模型。

第二步：用美工刀将其中一段火腿肠包装纸切开，然后将其展平在一张纸上，并观察曲线的形状特征。

（2）学生初步确定曲线函数图象：截面椭圆的展开曲线可能是正弦型函数y=Asin（ωx+φ）+k的图象。

（3）借助TI计算器操作确认。

选取一张学生的图片，导入到TI计算器的坐标系中，然后让学生完成下面操作：①在曲线上有针对性地选一些点（至少5个），测量各点的坐标，并将测得的坐标列成电子表格；②至少选用两种函数模型进行回归分析，并比较一下效果。

（4）实验结果和解释。

可将此问题数学化为一个数学模型，供学生利用理论进行推理论证：水平面α与斜平面β成45°的二面角，α∩β=l，且l与截面圆O相切。设圆柱底面半径为1，点Q为截面椭圆上任一点P在水平截面α上的投影，设AQ=x，PQ=y，试求y关于x的函数表达式。

“实验操作→直觉猜想→直观验证→推理论证”是科学探究的一般方法。让学生参与探究的全过程，可以培养学生严谨的思维习惯。在学生利用TI计算器拟合并得出初步结论时，引导学生利用所学的数学知识进行严密论证是不可或缺的一环。在探究过程中，通过层层设问，适时点拨，使学生调动、运用已有数学知识，最终揭开直观现象背后的数学奥秘。