基于压缩感知的稀疏度自适应图像修复探究

刘卓亚　李东

摘要；图像修复是指利用图像中已有的信息，对破损的地方进行修复或者删减目标物的图像处理技术。压缩感知是信号处理技术，利用信号的稀疏度，进行采样并恢复原始信号的技术。针对图像修复的算法，本文对样本数据进行大量的分析，对K-奇异值分解（K-SVD）字典训练，从而取代正交基函数。根据图像的退化数据，约束感知矩阵。对图像破损稀疏度未知的问题，提出了一种稀疏度自适应正则化正交匹配追踪算法（SA-ROMP），提高图像修复精度。

关键词：压缩感知；稀疏度自适应；图像修复

中图分类号：TP18 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2017）07-0165-03

图像处理中图像的修复是一个重要的步骤。它是利用破损图像中已知的信息进行重建图像，从而达到修复图像的目的。视频修复，图像解压和特技渲染上都会应用到图像修复技术。这也就是图像修复技术的重要性所在。

1图像修复算法

1.1图像修复技术

目前图像修复技术基本上分为3种。微分方程、纹理合成、稀疏表示的图像修复等三种。第一种，微分方程（KSCB）图像修复算法是利用破损图像的破损边缘进行估计，通过信息传播的方式进行修复。这种算法适用于破损比较小的图像。但是这种算法需要大量的时间进行计算分析，速度太慢。而且大面积破损图片的修复效果不够稳定。第二种，纹理合成图像修复是一个很热门的图像修复技术。纹理采样的方法，对大面积破损图像修复，有较好的效果。这种算法首先要在破损边缘选一个点，根据破损图像边缘寻找相似的图像点进行填充。反复重复修复步骤，最终达到修复图像的目的。其中难点就在于相似图块匹配情况和确定修复破损区域的顺序问题。而它的缺点在于对图像结构的分析不够透彻，也就是说根据破损边缘寻找的相似图像点的匹配上会出现问题，从而造成了图像有些不太和谐的结果。第三种，稀疏度图像修复是利用字典和修复图像内的一些信息进行稀疏编码，进行图像修复。Elad、Dohono等人提出的MCA分解单步压缩感知的图像修复算法，是将图像分解为文理部分和结构部分两部分进行修复。最后将两部分图片修复的结果相加得到的图片就是修复后的图片。但是这种图片修复技术同样也无法避免，信号扩散过程中产生模糊的问题。

1.2压缩感知理论

压缩感知是一门新颖的信息采集和处理技术。传统的信息采集和处理是从采样开始，经过压缩和传输最后进行解压缩的步骤。经过Dohono、Tao等人的深入研究，对压缩感知技术进行了提升。在未损失信息的情况下，利用信号的稀疏情况，将采集和压缩步骤合并进行。最后经过重构恢复原始信号。这种技术可以大大降低采样的频率，传输的压力降低、处理时间和计算成本变低。压缩感知理论现在应用在很多领域中，例如，信息通信和图像处理上的应用非常的广泛。

1.3图像修复算法

重构算法是压缩感知理论（CS）中一个重要环节。从低维信号中恢复原始高维信号，是算法的关键所在。在压缩感知理论下的重构算法有三种。最常用的算法为贪婪算法。顾名思义，其意义为，在对问题求解时总是从当前情况中选择最好的解决方法。由于贪婪算法的重构效率较高、算法的复杂度比较低等原因，应用比较广泛。它的典型算法有匹配追踪算法、正则化正交匹配追踪（ROMP）和正交匹配追踪（OMP）算法等。但是这些算法必须要求对信号稀疏度的精确性把握。稀疏度参数一旦出现问题，图像重构质量就会下降。稀疏度未知时可以对其进行评估，这时的重构效果将更不稳定。

对于破损图像来说，对信号稀疏度的估计根本无法事先完成。所以修复质量将出现很多问题。而SAMP算法在选定稀疏度步长时过小，会出现很多算法数值相等的情况。而过大时图像修复效果将极度降低。所以本文提出了一种基于压缩感知的稀疏度自适应修复算法。应用一个超完备字典，通过破损图像模型，对感知矩阵进行约束，应用压缩感知的稀疏度自适应正则化正交匹配追踪算法（SA-ROMP），建立模型进行图像修复。这种算法可以根据选择的原子点自适应选择原子个数，可以灵活地将适合的作为候选，用正则化再次筛选出精度较高的原子，保证更好的修复图像。

2压缩感知（CS）理论的图像修复模型

信号在变换域上有稀疏度，那么就用与变换基不相关的测量矩阵将变换得到的高维信号投影到一个低维空间上。最后对一个最优化问题进行求解。从低维空间的投影中以高概率重构出原始信号。

原始信号设为X，X可以看作是在低维空间R^N空间的N×1的向量。R^N空间中的信号都可以用Ψ_i（i=1，2，…，N）表示。因此得公式：X=Ψ_a

如果X在Ψ上的表示0<α

根据CS理论，对原始信号稀疏变换，原始信号X（XERn）。信号长度为N，基向量为Ψ_i（i=1，2，…，N）。信号X投影到稀疏基雪上以后得到公式：

（1）

选择适合的稀疏基是研究的重点。所以研究方向分两个，一为设计更一个算法更快速有效的稀疏分解计算。常用的有小波变换、震荡信号Gabor变换和离散余弦变换算法。而另一个研究方向是建设一个超级完备字典K-SVD等。

3基于CS理论的稀疏度自适应图像修复实验

3.1K-SVD字典训练算法

信号的稀疏表示能力越强，运用算法时更快捷方便。K-SVD字典训练算法是对各类图像样本进行训练，通过自适应更新字典原子，建设出超完备字典。因为是扩展了原有的字典训练算法，能更有效的减少字典中原子的个数。训练后的原子数还是可以表示出初始字典的所有信息。

（2）

K-SVD字典训练算法是将此公式优化进行运算的结果。其中y表示本集{y_i）}^N_i=1。D表示我们建设的超完备字典，X表示稀疏矩阵，T₀（T₀≠0）元素个数的最大值。

在进行K-SVD字典训练算法时首先要给字典D赋予初始值。可以使用任何一种追踪算法，求解每个y_i的向量x_i。从而更新字典，也就是根据x_i更新D，可以假设d_i是D中第k列原子。E_k是误差矩阵：

（3）

从而得到下来式子；

（4）

3.2感知矩阵设计

本文选用超完备字典对正交变换基进行取代，感知矩陣A—RD。D为超完备字典。为感知矩阵能满足RIP条件，选用MC代替。定义A的互相干是

（5）

α_i是A的第i列向量。在稀疏度和互相干参数能满足一定的条件下，应用K-SVD训练的超完备字典进行对图像的修复。经过计算，其图像修复效果还是比较好的。对于破损面积比较大的图像，可能存在一定的模糊情况。

3.3稀疏度自适应正则化正交匹配追踪算法

正交匹配追踪算法每次选代只能选择与残差最相关的一列。而正则化正交匹配追踪算法则是一种改进的算法，是在成组筛选原子时加入了回溯思想，在选出候选支撑原子集后，需要进行正则化过程，对候选支撑原子集进行分组，选择能量最大的组作为本次迭代所得支撑原子集。

本文算法提出的SA-ROMP是利用残差和感知矩阵相关系数的变化特性，对该系数进行差分运算，不仅满足了ROMP算法，还在原有的基础上进行的了更新。与之相比，不依赖稀疏度K，无需对稀疏度进行评估的情况下可以直接进行原始信号恢复。SA-RQMP算法也不需要设定弱选择参数，从而能更好地完成自适应条件。所以从这些情况能发现，SA-ROMP算法优势是比较明显的。

3.4SA-ROMP算法的具体实现步骤

1）设定算法输入：测量信号y，感知矩阵φ，常数C，算法迭代误差t，

2）输出：残差r_k，信号估计x

3）初始化：初始残差值r₀=y，迭代次数初始值k=1；支撑原子集I_k=φ

4）迭代

4实验结果及分析

为了验证SA-ROMP算法的可行性，我们选择了多种类型的破损图像进行修复。可以直观地从图像修复的质量进行评价。经过PMSE预算，反应修复图片的前后误差，对比逼近程度。再经过SSIM对修复前后的两幅图像进行相似度对比。设x是原始图像，y是修复完成后的图像；

（9）

（10）

其中μ是图像的均值，而σ表示的则是方差。c₁，c₂表示的是常数。有这样的常数跟更增加计算结果的稳定性。

为了更好的比较每种算法受到稀疏度的影响所呈现的图像修复情况，进行了对照试验。经过各种算法的图片对比如下：

从图中可以直观地看出，各种算法在不同稀疏度取值后的修复结果。其中的差距还是比较大。稀疏度的选取非常的重要，一旦不合适，其图片修复质量也会直接下降。从图2可以看到，在ROMP应用K-SVD字典算法的PSNR的最高在32.101 9 dB。但是本文提出的算法PSNR指标一直保持在35.213 8 dB，明显高于其他算法。所以在图像修复性能上要比其他算法有一定的优势。根据上述不同算法图片修复指标进行对比。如下表；

从图表1的数据中，可以看出各种算法的修复指标。本文提出的SA-ROMP算法相对于其他算法在各种修复指数上都要占有一定的优越性。并且根据表2的结果可以看出应用稀疏度自适应SAMP算法修复图片的效果比较差。而弱选择的稀疏度自适应算法在不同参数下的修复效果不同。但是本文提出的SA-ROMP算法根本不需要人工提前设定参数进行预算。其自适应.陛要比其他算法更有优势。

5总结

贪婪算法受稀疏度参数的影响，在图像重构结果上有一定的缺陷。本文根据ROMP算法的基础上提出了稀疏度自适应正则化正交匹配追踪算法。利用超完备字典取代正交基函数，实现了在未知稀疏度的情况下，完成对图像的修复技术。而且通过不同算法图像修复的对比，可以直观地看出本文提出的图像修复算法的优越性。但是超完备字典的训练时间比较长，在图像修复技术中更快更好的完成图像修复还需要更多的技术研究。