探索有效途径 提升数学素养*——以一道中考压轴题为例

●李鹏钥

(苏州市第十二中学 江苏苏州 215008)

探索有效途径 提升数学素养*
——以一道中考压轴题为例

●李鹏钥

(苏州市第十二中学 江苏苏州 215008)

文章针对初中学生在解答数学中考压轴题时思维能力的欠缺，进行了深度思考和对策研究，并以中考压轴题为例归纳出“思维导图”“多维探索”“一题多解”“巧妙变式”等有效教学途径，提升学生思维的深刻性、创造性、发散性、灵活性等数学思维品质，从而提升数学素养.

途径;提升;思维;素养

中考压轴题，由于其考查知识面广、灵活性大、思维能力要求高，导致学生无从下手，望题兴叹.在复习中，教师应尽可能根据学生原有认知探求出合适的教学方式，突破学生的思维瓶颈，形成规范的思维范式，进而提升学生的数学素养.笔者以2016年江苏省苏州市数学中考压轴题为例，谈谈如何通过合适的途径突破思维瓶颈，提高思维品质.

1 案例呈现

图1

题目 如图1，直线l:y=-3x+3与x轴、y轴分别相交于点A,B，抛物线y=ax2-2ax+a+4(其中a<0)经过点B．

1)求该抛物线的函数表达式.

2)已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，联结AM,BM．设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值.

3)在第2)小题的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M′.

①写出点M′的坐标.

②将直线l绕点A按顺时针方向旋转得到直线l′，当直线l′与直线AM′重合时停止旋转．在旋转过程中，直线l′与线段BM′交于点C．设点B,M′到直线l′的距离分别为d1,d2，当d1+d2最大时，求直线l′旋转的角度(即∠BAC的度数)．

(2016年江苏省苏州市数学中考试题第28题)

1.1 案例点评

本题是代数中的二次函数相关知识与几何中的动点、动线及面积问题相结合的综合问题，主要考查：

1)一次、二次函数相关知识的基本掌握情况；

2)动态几何中的动点或动线问题的掌握情况；

3)运用所学代数几何知识综合解决问题的能力；

4)思维的广度、深度及灵活性.

1.2 错解归因

1)题目较长、文字较多，学生容易产生畏惧情绪；

2)考查的知识点较多，综合思维能力要求较高；

3)学生思维不够灵活，深度和广度不够，思维品质较差.

2 解决途径

2.1 通过思维导图分解综合题，提升思维的深刻性

思维的深刻性是数学思维品质中重要的思维品质之一，对其他思维品质具有统摄和联动作用[1].在解决问题时，若缺少对问题本质深刻性的认识，其灵活性、批判性就无从谈起.在教学中，我们可将综合问题逐层分解，尝试先勾勒出解决问题的思维方向，层层深入，然后再将思维推向纵深.

如本题中，结合图2，可引导学生将3个问题用思维导图的方式勾勒出思维走向：

图2

第1)小题思维导图：求抛物线y=ax2-2ax+a+4的函数表达式→求点B的坐标→由已知条件：直线y=-3x+3与x轴、y轴分别相交于点A,B，易得点B坐标→问题轻松解决.

第2)小题思维导图：求三角形面积S与抛物线上动点M的横坐标m的函数表达式，并求出S的最大值→求三角形面积→运用割补法添加辅助线,化不规则图形为规则图形→求出三角形面积S与m的函数表达式→利用二次函数式的顶点坐标求出最大值→问题解决.

第3)小题思维导图：在第2)小题的基础上，第3)小题的第①问可以直接求解.

第3)小题的第②问：求∠BAC的度数→先确定点C或直线AC的位置→结合条件“点B,M′到直线l′的距离分别为d1,d2，当d1+d2最大时”确定点C的位置(此处为难点，可通过引导学生利用以前所学过的求最大或最小值的方法，并结合图形进行仔细观察分析解决)→发现当直线AC⊥BM时，d1+d2最大→求出AC,AB的长→求出BM′的长→在Rt△ABC中利用三角函数求出∠BAC→解决问题.

通过以上思维导图的分析把一道综合性较强、难度较大的中考压轴题，分解为学生熟悉的基本问题，一层层解开综合题背后的思维节点.教师长期引导学生对综合问题进行分解，并画出思维导图，学生将逐步认识到问题的本质，潜移默化中提升了思维的深刻性.

2.2 通过多维探索，提升学生思维的创造性

创造性思维是学生适应未来需要的一种较高的思维方式，其根本是能够多角度、多维度地看待和处理问题.在教学中，可通过多维探索的方式来培养学生思维的创造性.所谓多维探索就是对问题的分析(或解决)不局限在现有思维对象、思维方式中，而是积极探寻其他的能激发学生数学思考的思维对象和方式[2].

如第2)小题某资料参考答案如下：

令y=0，代入y=-x2+2x+3，得

0=-x2+2x+3，

从而

x=-1或x=3，

图3

于是抛物线与x轴的交点横坐标为-1和3.因为点M在抛物线上，又在第一象限内，所以0

若教师按上述解答过程照本宣科地分析，而不引导学生进行多角度、多途径去解决问题，则会导致学生的思维受限和僵化，思维得不到创新和发展.为此，在讲解此题的过程中，除了上述方法外，还可引导学生思考以下问题：

1)上述方法是利用“割”法来求三角形面积，还有其他“割”法吗？能用“补”法吗？

2)你能说出哪些不同的“割”法和“补”法？

3)联结OM，能求出S△ABM吗？

4)如果点M在抛物线的对称轴上、对称轴左侧，那么还能继续运用上述方法吗？

……

教师通过更多问题来引导学生进行积极思考，让学生多一些探索、多一些提问，尝试多维度思考问题.长期下去，必然会促进学生思维的创造性，从而避免思维僵化、思维定势.

2.3 通过“一题多解”，提升学生思维的发散性

“发散性思维”是一种不依常规、寻求变异，对给出的材料信息从不同角度、用不同方法或途径进行分析和解决问题的一种思维方式.数学教学中的“一题多解”就是从不同角度、不同方位审视、分析同一问题中的数量关系，用不同解法求得相同结果的思维过程.教学中适当的一题多解，可以激发学生去发现和创造的强烈欲望，加深学生对所学知识的深刻理解，训练学生对数学思想和数学方法的娴熟运用，锻炼学生思维的广阔性、灵活性和创造性，从而培养学生思维的发散性[3].

第3)小题第②问的“一题多解”：

解法1 (采用直线平移法，运用圆的特殊性)

如图4，过点M′作直线l1∥l′，过点B作BF⊥l1于点F.根据题意知d1+d2=BF，此时只要求出BF的最大值即可.

过点M′作M′G⊥AB于点G，设BG=x，由勾股定理可得

M′B2-BG2=M′A2-AG2,

即

因为l1∥l′，所以∠BCA=90°，故

∠BAC=45°.

图4 图5

解法2 (采用面积法，运用整体思想)

如图5，过点B作BD⊥l′于点D，过点M′作M′E⊥l′于点E，则

BD=d1,EM′=d2.

S△ABM′=S△ABC+S△ACM′=

故

∠BAC=45°.

解法3 (特殊位置法，运用三点共线使线段和(差)最大(小))

如图5，过点B作BD⊥l′于点D，过点M′作M′E⊥l′于点E，则BD=d1,EM′=d2.在Rt△BCD中，d1≤BC,同理可得d2≤M′C,从而d1+d2的最大值为BC+M′C，此时AC⊥BM′(下同解法2).

在平时教学中，教师可通过“一题多解”的训练，引导学生多角度、多途径寻求解决问题的方法，开拓解题思路、寻找出最佳解题方案，总结解题规律，提高分析问题、解决问题能力，从而提升学生思维的发散性.

2.4 通过“巧妙变式”,提升学生思维的灵活性

思维的灵活性是指在思维具有一定广度和一定主动性基础上，产生的一种较为难得的思维品质.具备了思维灵活性的学生能从不同角度运用不同的知识与方法思考和解决数学问题，并得到多样化的思维结果.在解题过程中，学生能否迅速引发联想、调整思维状态、建立联系，是训练学生思维灵活性的关键所在.我们可在教学中多采用“巧妙变式”训练来提升学生思维灵活性[4].

本题在讲评时可进行如下变式训练：

变式1 更换原题目的条件

①点M在第二(或第三或第四)象限内，求△ABM的面积(注：面积是否还存在最值)；

②设抛物线的顶点为D，求点A,B,M,D所构成的四边形面积的最值.

变式2 更换原题目的问题

第1)小题可以改为：求a的值、顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点坐标等等.

第2)小题可以改为：

①当点M在顶点位置时，求△ABM的面积；

②当AB⊥AM时，求点M的坐标或BM(或AM)的长.

第3)小题可以改为：

①当∠BAC=60°时，求d1+d2的值;

②当S△ABM最大时，求d1+d2的值.

在变式训练中，教师需通过相互关联的问题链来不断激发学生的思维，使学生的思维处于“愤”“悱”的状态，对所研究的问题能举一反三、触类旁通，进而提高学生的数学学习能力.这就需要教师有意识地将典型的数学问题进行多角度变式训练，通过适度合理的变式，促使学生领悟数学知识间的纵横联系，增强演绎推理能力，发展和丰富自己的想象力，使学生思维的灵活性得到较大提升.

数学是思维的体操.数学与思维能力密不可分，提升数学思维能力是学好数学的重要突破口[5].笔者所述“思维导图”“一题多解”“多维探索”“变式训练”等4种途径旨在提升学生的思维品质，从而提升数学素养.望对同仁有所启迪与裨益.

[1] 张数虎.巧用生物习题培养学生思维的深刻性[J].教学与管理，2011(28)：71-73.

[2] 蒋铁伟,王震.数学教学中学生创造性思维的培养[J].中学数学月刊，2013(11)：11-12.

[3] 王行志.发散性思维与一题多解[J].江苏教育，1986(20)：40-41.

[4] 卞恩艳，许彩娟.从一题多解例谈初中生数学思维的灵活性特点[J].中学数学教育，2012(5)：34-36.

[5] 苑建广.数学思维的5个品质——以2013年中考典题的破解为例[J].中学教研(数学)，2013(12)：33-36.

A.A=N*,B=N B.A={x|-1≤x≤3},B={x|x=-8或0

C.A={x|0

(2013年福建省数学高考理科试题第10题)

教师照本(文献[1])宣科地呈现命题意图，分析逻辑基础，展示试题解答.

本题考查新定义与集合、函数的单调性等基础知识，考查考生对新定义的理解与应用能力、数形结合能力、转化和化归能力、运算求解能力.本题需要确定不能构成“保序同构”(集合A,B固定后，考虑所有对应法则f均不能满足条件1)，2))，可用“反例”来排除.

解 对于选项A：取f(x)=x-1，其中x∈N*，从而A=N*,B=N是“保序同构”；对于选项B：取

点评 教师强调求解此类“新定义的存在性问题”的关键是：首先读懂新定义的含义(本质)；其次针对选择题的特点，会利用特取法来快速智取，轻松破解.

数学是思维的学科，数学教学是数学思维活动的教学.如上处理只能说明教师是文字的搬运工，学生是特例的验证者.“与本题相关的基础(知识、思想方法等)有哪些，如何确定解题的切入点与关键点，问题的本质是什么，特例是怎样找到的，特例是唯一的吗，选项D为什么不是‘保序同构’”等等，只有把这些问题完全解决了，学生才算经历完整的思维过程，从而领悟问题的本质.

师：“保序同构”要满足什么条件？你见过同样的题目或类似的问题吗？你能重新叙述这道题目吗？还有其他方式进行叙述吗？

生1：对比函数概念，“保序同构”在函数的基础上还要符合其他2个条件：1)T中元素无剩余(值域就是集合T)；2)函数y=f(x)在定义域S上单调递增，即“保序同构”是从S到T的一一映射且该函数单调递增.

师：分析很到位.定义、性质、定理等真命题具有统领作用，下面针对具体集合，你能给出满足新定义的理由(反例否定与推证肯定)吗？

对于选项C:考虑定义域区间“长度”有限，值域区间“长度”无限，联想正切函数，可取

因此，可排除选项A,B,C，故选D.我正在考虑选项D的推证过程.

师：很好！哪位同学还需要补充？

点评 同构是抽象代数的重要概念，通过结构上的同构，其对象会有相似的属性与操作，使理解和处理对象结构更容易，深化对该对象的认知.本题的高等背景是序同构：偏序集(A,)与偏序集(B,)同构，当且仅当存在一个双射f:A→B，使得ab→f(a)f(b)且f(a)f(b)→ab.将高等数学概念与中学数学知识紧密联系，在高等数学与初等数学的衔接点命题.“保序同构”要满足2个条件：满射(即像集T中的每个元素在S中都有一个或一个以上的原像)与单调递增，即确定一个从S到T的单调递增的一一映射.选项D需确定一个从正整数集到有理数集的单调递增的一一映射,不存在“保序同构”的根本原因是整数的离散型与有理数的稠密性.

相对于题目条件,正例和反例怎么找？首先要弄清问题的本源，进行似然联想，再进行理性确认.认识问题不能浮于表面，流于形式，浅尝辄止，而应沉入内观，揭示本质，攫取精髓，有时反例更能体现问题的根本与关键，凸显思维的深度与广度.

教学片断2 “集合与逻辑”之“合情推理与演绎推理”

例2 设整数n≥4,集合X={1,2,3,…,n}.令集合S={(x,y,z)|x,y,z∈X,且3个条件x

( )

A.(y,z,w)∈S,(x,y,w)∉SB.(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S

C.(y,z,w)∉S,(x,y,w)∈SD.(y,z,w)∉S,(x,y,w)∉S

(2013年广东省数学高考理科试题第8题)

师：本题考查集合、推理与证明，考查学生接受、理解、运用和迁移新知识能力，还有推理论证能力与创新意识.明确集合S表示的含义，对S中的各种情况进行组合，综合分析.也可以对x,y,z,w赋值，利用特殊值进行排除.

解法1 (特殊值法)题设条件中x

解法2 (穷举法)由(x,y,z)在S中，知

3个式子恰有1个成立.由(z,w,x)在S中，知

3个式子恰有1个成立.配对后只有4种情况：

1)式(1)和式(5)成立，此时w

2)式(1)和式(6)成立，此时x

3)式(2)和式(4)成立，此时y

4)式(3)和式(4)成立，此时z

综上所述，(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S.

图1

点评 解法1根据一般与特殊的关系，利用赋值法将抽象问题具体化、一般问题特殊化；解法2对条件直接翻译，将各种情况进行整合，筛选出共生(存)的性质.2种解法均对接学生的认知，有效地解决问题.

师：解法2讨论的情况较多，能否将其更直观地表示出来？试着画一张图，引入适当的符号.

解法3 (树状图)因为(x,y,z)∈S，(z,w,x)∈S，则各元素的大小关系如图1所示，均符合(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S.

师：数形结合要体现形的直观与数的精准.你还能用更直观的方式将其表示出来吗？回到定义上去，执行你的解题方案，检查每一个步骤.你能一眼就看出来吗？

图2

生：问题的本质是将某些数按一定顺序(如顺时针)排列，形成有序数组.如图2所示，首先将x,y,z按顺时针镶嵌在圆上，再将w插入在z,x(按顺时针)之间，即构成了x，y,z,w的序列，数形结合，一目了然.

(全体学生鼓掌.)

教学片断3 “函数、导数及其应用”之“导数的综合应用”

例3 1)已知0

教师分析第1)小题的解题思路，强调一题多问中要抓住各问之间的联系.展示答案如下：

1)解 由f(x)=-x3+2x2-x+2，知

f′(x)=-3x2+4x-1=-(3x-1)(x-1)，

又因为0

将3个式子相加得

图3

把根(背景与本质)留住，遇到相关问题，才能撩开其神秘的面纱，露出其朴素的面容，化生为熟，迎刃而解.如果学生基础稍弱，那么可用下例(例4)进行铺垫.

证法1 原不等式等价于

即

而

证法3 由柯西不等式可得

同理可得

3个式子相加即得所要证的结论.

因此函数f(x)在(0,1)上是(严格)上凸函数.由琴生不等式知

代入即得所要证的结论.

图4

其中a,b,c中2个数为0，另一个数为1.

凹凸性是函数的重要性质之一，借助凹凸性可直接使用琴生不等式.不少教材将其高等数学初等化，使学生感到思路的突兀与奇妙.若熟悉相关背景与结论，则往往一眼见底.

2 教学思考

2.1 明晰目标，确定方向

教育的目的是育人.在感受学习的幸福基础上,受教育者的天性与能力得到生长.简言之，教育的终极目标就是提升人的素养(教育价值所在)使其幸福.素养是指一个人平时的基本修养，应该包括先天的以及后天训练、实践而获得的技巧或能力，具体指个体的知识与技能、品德与观念、思想与方法等[2].余文森认为：素养是素质加教养的产物，是天性和习性的结合.素养表现出整体性、综合性、多维性、动态性等特点，素养无限，生命有限，学校教育时间更有限，只有抓住核心素养才能使教育效益最大化.学科核心素养是指在某科学知识、技能的学习过程中，感悟该学科的核心思想与方法，从而形成必备的学科观念、学科能力，并把握学科本质[2].

学科的育人价值主要在于对特定核心素养的贡献，如正在修订的《普通高中数学课程标准》提出发展学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析等6个核心素养，有助于他们学会用数学眼光观察世界，用数学思维分析世界，用数学语言表达世界；有助于他们掌握“四基”(基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验)，有助于他们在未来的生活工作中，发现、提出问题，分析解决问题；有助于认识、理解数学的科学价值、应用价值、文化价值，形成批判性思维习惯、理性精神[3].教学研究的基本问题是“教什么”和“怎么教”，前者是教学的目标，是内容问题，后者是教学的方法，是形式问题，内容决定形式，形式为内容服务.众所周知，数学概念是数学学习的起点，是数学思维的基础.因此，学生要深化对数学概念(尤其是核心概念)的理解；数学思想具有统领性、迁移性等，学生要感悟数学思想的精髓.

2.2 透彻理解,合理组织

“教什么”是目标，目标是首要的；“怎么教”是技术，技术是无穷的.教无定法，贵在得法.

2.2.1 开展活动，合作探究

前苏联数学教育家斯托利亚尔认为：“数学教学是数学活动(思维活动)的教学，而不仅是数学活动的结果——数学知识的教学.”目前，作为工具、载体的知识常被绝对化和神圣化，能力与素养却被弱化和边缘化.当然,教学活动离不开知识，教学活动对知识具有绝对的依赖性，没有了知识，教学活动便成为无源之水、无本之木.因此，教师要根据内容、目标，适时适度地组织数学活动，让学生在交流中感知、感悟、深化、提升.如以例2为载体开展活动，使学生经历思维从肤浅到深刻的过程，培养学生的抽象能力和锲而不舍的精神.

2.2.2 激发兴趣，自然生成

前苏联著名教育家赞可夫认为：“教学法一旦触及到学生的情绪和意志领域，触及到学生的精神需要，这种教学法就发挥高效的作用.”教学的艺术不在于传授本领，而在善于激励唤醒和鼓舞.激发学生的学习兴趣，培养探究质疑精神，教师要设计出好问题(具有接受性、障碍性、探索性等特征)，学生在挑战中领略数学的有用、自然、清楚、美妙.例1表面强大，实际虚弱，学生通过对定义的解读，感受到概念的强大作用，构造的函数灵活多变、本质始终如一，有效激发学生学习的兴趣，保持学习的持久动力.

2.2.3 注重整体，强化联系

联系是永恒的，整体是绝对的，素养是持续发展的，整体理解数学课程是基础.高中数学课程是一个有机整体，要整体理解数学课程性质与理念，整体掌握数学课程目标，特别需要整体感悟数学核心素养，整体认识数学课程内容结构—主线—主题—关键概念、定理、模型、思想方法、应用，整体设计与实施教学[3].教师要研透课程标准、深入教材，对(不限于)高中数学全面的了解，作出宏观计划，微观周密部署，确保教学内容与思想方法等有计划、有步骤、高效率的实施[4].例3中2个小题之间的联系、例4中各种解法之间的关联均较好地体现了问题的联系性与整体性，函数的凹凸性揭示了问题的本源.

2.3 终身学习，永葆活力

课程的内容掌握是根本，教师的数学素养决定成败.德国民主主义教育家第斯多惠说过：“谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人.”他还说过：“教师必须有独创性.他对学生要成为理性和启蒙的真实的火炬，使学生得以揭穿自己的错误意见，而被引导到真理的道路上去.”《学记》云：“记问之学，不足以为人师.”这句话道出了人师的根本：做人师，不能单靠死记硬背得来的知识；为人师，要有真本领、真学问.在新的教育形式下，教师若还抱缺守残(经验)，故步自封，只会处处受挫，丧失尊严.反之，具备学科素养的教师就能赢得“学科尊严”和“个人尊严”.

学习不是对传统的全盘否定，而是在继承发扬中创新发展.加涅指出：“问题解决并不是简单地就先前习得的规则的运用，它也是一个产生新的学习的过程.”[5]爱因斯坦曾说过：“从新的角度去看旧的问题，需要有创造性的想象力.”教师自己对内容清清楚楚，教学才能运筹帷幄，驾驭自如.

参 考 文 献

[1] 杜志建.2013年全国各省市高考试题汇编(理科数学)[M].乌鲁木齐：新疆青少年出版社，2013.

[2] 朱立明.基于深化课程改革的数学核心素养体系构建[J].中国教育学刊，2016(5)：76-80．

[3] 王尚志.如何在数学教育中提升学生的数学核心素养[J].中国教师，2016(5)：33-38．

[4] 郑良.数学教学要见机行事[J].数学教学研究，2013(11)：9-14．

[5] 加涅.学习的条件和教学论[M].皮连生, 王映学, 郑葳,译.上海：上海教育出版社，1999.

2016-11-21；

2016-12-30

李鹏钥(1973-)，女，江苏苏州人，中学一级教师.研究方向：数学教育.

O123.1

A

1003-6407(2017)04-01-04