哲学视域下的数学语言研究

姬粱飞

摘要：数学语言与哲学有着深厚的历史渊源。一方面，数学语言发展是哲学研究的一个重要领域，它为哲学提供研究内容与证据。另一方面，哲学作为世界观，它又为数学语言提供指导思想，哲学作为方法论，也为数学语言发展提供认识与探索工具。数学语言的哲学认知水平有助于人提升其道德认知水平、树立正确的世界观及价值观。

关键词：数学语言；哲学；德育；核心素养

doi：10.16083/j.cnki.1671-1580.2017.04.021

中圖分类号：B017

文献标识码：A

文章编号：1671-1580（2017）04-0070-04

B.Demollins曾言：“没有数学，我们无法看透哲学的深度；没有哲学，人们也无法看透数学的深度；而没有两者，人们什么也看不透。”数学语言既属于数学领域，又属于语言学领域，这种研究已涉及代数语言学、统计语言学以及算法语言学等领域。数学语言的认知水平不仅对数学学习行为起到促进或限制作用，甚至对其道德认知水平、价值观、世界观等产生重要影响。

一、哲学是模糊的。数学语言却是精确的

中国哲学的主要成果是古代哲学，并以道、儒、法、墨等诸家为主要哲学流派。在认识世界方面的哲学成果主要是以老庄与周易为代表的自然观；在社会价值与规范方面的成果主要是以孔孟学说为代表的伦理观。从哲学角度来说，中国是一个“道”的国度，“道”在中国哲学中代表一种独特的哲学思想。庄周认为，“道，理也”，“道无不理”。中国古代哲学是研究宇宙内万事万物的运行规律，阐释事物运动变化轨迹或轨道的一种学说。哲学的英文为Phi.losophy，它没有统一而明确的定义，在一般意义上哲学是指对普遍或基本问题进行研究的一类学说。西方哲学对中国影响最大的是马克思主义哲学，目前西方仍存在着各种哲学派别，延续与发展着西方哲学，其中把现代西方哲学与马克思主义革命理论相结合的哲学流派又称西方马克思主义。哲学是方法论与世界观的统一，既是方法论又是世界观。

语言是人类交流思想、表达思维活动的一种工具，由词汇、语音及语法等构成，是传承文明和推动社会发展的桥梁。数学语言是语言的下位概念，既有语言的共性，也有自身的独特性。集数学之大成者高斯曾把数学比喻为上帝的语言，以此类推，数学语言则是上帝的口舌了，当然，这也只是一种形象的比喻罢了。前苏联数学家斯托利亚尔说过：“数学教学就是数学语言的教学。”数学学习就是数学语言不断适应与内化的过程。数学语言是在人类思维发展过程中逐渐形成的，按照特有的语法规则，以数学符号为基础，以数学定义、公理、定理以及公式等专门术语为要素所构成的一种科学语言。

二、世界是一本以数学语言写成的书（唯物辩证法）

（一）数学语言的客观性。数学这门古老的科学是从人类生活实践中发展而来，起初从原始时期的“结绳记事”到后来的阿拉伯数字，再从珠算到现代计算机，这些都表明数学来源于实践。数学语言的发展也是在生活实践中抽象出来的。数学与客观事物存在一种映射关系，它反映着客观存在物的某种空间形式和数量关系，并投射着人类对客观现实的描述形式。数学的研究对象是客观事物，但它的直接对象却是数学语言，而且数学知识也是存在于数学语言之中。比如，线段公理（两点之间线段最短）是从现实中抽象出来的，在地面上扔个肉包子，在没有其他障碍物的情况下，狗直接奔包子，而不是绕个弯；“大漠孤烟直”，用数学语言描述就是线面垂直关系；“长河落日圆”，用数学语言描述就是线与圆相离、相切及相交。再如，地球仪的经纬线是用数学语言表达的，将地球仪分南北半球，每半球均分90份，每份代表1。，其经线是用二面角平面角的表达形式。

“草木本无意，荣枯自有时。”数学语言是客观规律的产物，一方面，数学语言作为描述数量关系或空间形式的一种思维表达形式，其研究对象是客观世界的运动规律。数学语言来源于现实生活，它只有应用于生活才能体现其存在的价值。在人类环境中处处可见，房屋的形状是由三角形、正方形、矩形、圆形等构成，用数学语言描述就是点线、线面、面面等关系。另一方面，数学语言是人类抽象思维的表达形式，它无法脱离感性事物而独立存在。再抽象的数学语言也离不开现实世界，不论内容还是形式都与现实存在着一种对应关系。这个对应关系又受到人类认知水平与历史阶段的限制，它只能是自然界或客观现实一种无限接近的结果，而不是绝对的。所以，数学语言对客观现实而言，它又具有相对独立性，它意味着在某种情况下可以脱离具体现实而独立发展，而且能够自成体系。

方法论意义：荀子言道：“天有常道矣，地有常数矣，君子有常体矣。”数学语言是客观规律的反映，教师需要重视学生学习数学语言的现实原型，而不是忽略其现实性，掌握数学语言在现实生活中的应用才是学习数学的要义。

（二）普遍联系的观点。数学语言本身就具有普遍联系性，学习数学语言有利于培养联系的观点。理解数学语言的普遍联系性，需要寻找知识之间的联系，从这些联系中寻求解决矛盾的途径和方法，并把握数学语言对各种概念的不同表达形式，从而加以联系与推广，善于抓住概念之间的种属关系。比如，Euler Fonllula：e^ix=cosx+i sin x.这个公式最不可思议之处就是非常巧妙地包含了五个不同寻常数0，1，e，π，i.，它把实数中两个最特殊的数0、1，两个超越数p、e，虚数单位i，以及两个运算关系符号联系起来。它把原本各自独立存在的三角函数与指数函数联系在一起，还实现了指数函数和三角函数在复数域内之间的相互转化，令人叹为观止。另外，同构概念是在映射概念的基础上建立起来的，在集合论中，函数、变换运算又都统一于映射。函数、极限、连续、导数、微分等概念本身就是一个相互关联的概念体系。此外，群、环、域都是用集合语言阐释的，通过集合语言定义新的运算或特殊元素，形成新的性质规律。再如，向量概念，需求区别向量与数量的关系，向量是一种崭新的数学概念，它是对数量概念的发展与超越。三角函数、向量、几何、复数之间存在千丝万缕的关系，它们使用着相似的逻辑工具，概念上也有着亲缘关系。在数学思想方法上，数形结合思想是代数与几何的巧妙结合，笛卡尔发明的坐标系也是数与形的联系。分类讨论思想是采用数学语言的手段将复杂问题逐一分类，从而各个击破。

方法论意义：数学语言具有相互联系的性质，正是因为这种相互联系，可以借助某个领域内已经解决的问题化解另一个领域的问题，这本身就是一种思想方法，对学生也是一种潜在而影响深远的教育资源。

（三）运动发展的观点。任何事物的发展都是一个过程，并总是向前发展，呈现螺旋式上升的发展形式。“蝉噪林逾静，鸟鸣山更幽。”數学语言的发展也是动中有静，静中有动，呈现出一种运动形式，既反映客观世界运动发展的现象，又为人们认识世界、改造世界提供新的有力工具。比如数集，经历了自然数集、有理数集、无理数集、实数集、复数集，从数环到数域，从整数的离散性到有理数的稠密性，再由有理数集的间断性发展到实数集的连续性。显然，数学语言每一步的发展都体现了运动发展的规律，并是一次质的飞跃。另者，函数概念起初定义为随着某条曲线的点而变动的量发展到把函数看作是变量与常数或公式方程的组合，再到一种对应关系，最后到集合之间的映射，此时方将函数本质特征彻底地抽象概括出来。再者，微积分的实无穷小，发展到潜无穷小，再到实无穷小与潜无穷小的交叉，数学语言的描述也由静态范畴发展到动态范畴，人们最终得以正确认识无穷小量的意义。此外，模糊数学概念也反映了数学语言变化发展的特征，人类起初认识确定性变量，造就了经典数学的诞生与发展，随着人类认识能力的提升，开始认识到随机变量，进而发展了随机数学，后来认识了模糊性变量，从而促使模糊数学的诞生与发展。还有几何语言的发展，从初等几何（欧式几何）、解析几何（笛卡尔）、射影几何、微分几何（变量几何）发展到罗氏几何与黎曼几何（非欧几何）等。

方法论意义：数学语言在人类历史长河中，只有不断地运动发展，才能破壳而出，实现自身的发展，它不但呈现出时间上的持续性与空间上的广延性，而且促进了数学与其他学科的交替性发展，更

（七）必然性与偶然性。必然性：虽说世界上有上千种文字语言，但各国的数学语言却是相同的，数学语言是国际上通用的语言。数学语言能够在历史长河中流传下来，而且完全国际化，这说明数学语言的诞生与传承具有必然性，其相容相通、精确美观、简洁紧凑。偶然性：数学语言的创作与传承具有一定的偶然性，其创作主要有两个渠道。第一是由某个历史时期的人民大众所创，广泛流传并约定下来，第二是由某个数学家首次使用或发明。不管哪种渠道，在特定历史时期，创作者都会受到社会文化背景、价值观念、理想追求以及知识储备水平等因素的影响。同时，语言在国际传播的过程中，翻译者也会对数学语言的解释赋予个性化意义。因此，数学语言往往蕴含着创作者的个性化意义，也反映着传承者的某些个性心理特征，并具有一定的鲜明的文化背景。比如，欧拉认为数学符号应当规则化、简约化；莱布尼兹认为优良的数学符号能够节省思维劳动，它是掌握数学的关键。比如，微积分符号，它是牛顿、莱布尼兹、高斯等诸位数学家创作的。某些数学语言直接用数学家姓名命名或源于经典历史故事或事迹。例如，伯努利方程、辛钦大数定律、欧拉公式、贝叶斯定理、高斯分布等。如同无理数并非是没有道理的数，虚数也并非为虚假的数那样，它们都有着不同凡响的传说。

（八）数学语言多样性与特殊性。数学语言的语句语法有多种类型，不同类型的语言语句又有不同的结构，比如文字型语言语句、符号型语言语句、图形图表型语言语句等。数学语言语句也有其特殊性。由于其自身特性，某些数学语句存在着独特的规定性，比如数学术语、数学专业名词或概念，联结规则与自然语句是有所不同的，还有某些数学公式的表达形式，由不同词性的语句组成，它往往有别于自然语言的语句形式。

三、数学语言的德育价值

第一，促进思想文化的理解与传承，任何一种思想文化或心智技能必须借助于外部语言方能得以传承。数学语言表达与传承数学思想、方法、规则，反映数学思维的本质，揭示数学发展规律，比如分类讨论思想方法的应用研究。第二，促进人类数学思维的有效发挥。数学语言作为研究数学思维的工具，其本身是自然科学与社会科学相结合，以严密逻辑的数理符号为依托，以抽象概括的范式为准则，以精确简洁为特点的一种形式化语言。它不仅是数学本身的语言，也是其他学科不可或缺的研究工具，也代表各学科向数学化发展的一种趋势。只有掌握数学语言规律与表达形式，才能彻底发挥数学思维的巨大功能，才有助于提升人的核心素养。

数学语言蕴含着丰富的哲学辩证思想，它以简明图形、规范符号、深刻公式、形式化语言风格把客观世界的辩证规律明确地予以表达。比如人与人距离关系的对立统一：人和人犹如数轴上那些有理数点，他们可以彼此挨得很近，但终究存在着隔阂。人类并不孤单，犹如数轴上存在着无限的有理数点，在其任意邻域内都能找到伙伴；但人却又是异常寂寞的，亦犹如数轴上无理数点被标出后，突然发现人的伙伴又都逐个消失了。求同存异的思想：哪怕两个人是站在对立面，只要他们彼此的心还是连续的，那么他们总能找到一个双方平衡点（零点存在性定理）。乐观自信的心理品质：人生的修为是可积的，虽然在人的一生中会存在若干个间断点，但这并不影响它的积累（可积的充要条件）。数学语言具有丰富的德育功能，深入挖掘其德育因素，对学生进行科学的世界观和人生观教育，培养其优秀的心理品质和理性思维习惯，提升其核心素养都有重要意义。这样的教育才能真正具有活力与生命力，才能培养出更丰富、更和谐、更完整、更有力量的人。