关于椭球区域面积计算问题的讨论

吕朋一

摘 要：目前关于椭球区域面积的计算都是采用边界点高斯平面坐标进行，由于高斯投影为等角投影存在面积变形，因而所计算的面积和实际面积有一定差距。椭球面上的不规则面积计算则显得尤为复杂困难。文章讨论顾及地球曲率的面积计算方法，转换为采用等面积投影的方法，采用平面坐标面积计算，对不规则椭球区域面积计算方法进行讨论。

关键词：椭球规则梯形计算；等面积投影；高斯投影；等角投影；高斯正反算

1 概述

目前椭球面面积的计算都是采用边界线的高斯平面坐标进行，没有考虑地球曲率。由于高斯投影存在面积变形，虽然单宗土地面积变形不大，但是全省、全国大面积统计，则影响不可忽视，因此精确计算椭球面区域面积，是国土部门亟待解决的问题。目前提出的方法多种多样，如利用傅立叶级数快速转化实现面积计算、利用freeman链码矢量分析对边界进行综合处理获取边界像素坐标加权求和，求得面积等方法。上述的方法，最终并没有成为解决椭球面区域计算的方法。

椭球梯形是椭球面上唯一能直接计算出准确面积的图形，它是由两条子午线和两条平行圈围成的梯形表面。但事实生产工作中并不会简单的计算梯形面积，而是需要对不规则的图形进行计算。本文希望能通过对简单投影方法的运用，得到区域面积的计算简便方法，并利用椭球梯形作为实际面积进行检验。利用等面积投影特有的投影后面积不变的特点和高斯投影直接利用坐标计算面积的方式，将不规则椭球区域坐标转化为等面积投影和高斯投影坐标，再用平面面积计算公式计算不规则区域。通过具体数据比较高斯投影与等面积的投影转化方法能否解决不规则区域面积计算，并用椭球梯形面积进行检验。

2 椭球面积计算方法

2.1 规则梯形面积计算

地球为一个不规则的球体，广大区域上遍布着江河，湖海，高山，盆地，低洼，峡谷等等，因此地球上区域的面积计算就变得很困难，此时需要引入一个类地球的椭球，这个椭球的目的主要是为了方便地球表面上的测量计算工作。这个数学模型为规则的，它非常接近大地体并用来替代大地体。我国的参考椭球经历了几代更迭，从1952年前的海福特椭球，至1953年开始使用克拉索夫斯基椭球，1978年则使用75国际椭球，通过75椭球的基础数据建立了我国自己的80坐标系，现在国家正在大力推行CGS2000坐标。

参考椭球虽然替代了大地体，但对于它上面的不规则区域面积计算仍然没有简单有效的解决办法。虽说不规则的区域无法准确计算，但对于椭球梯形，通过微分、积分的方式能够计算其面积，并总结得出以下公式：

公式中的xy，需要先经过（x，y）高斯投影→（L，B）大地坐标→（x，y）等面积投影来进行转换，得到等面积投影的横纵坐标。其中的S是一弧度对应的纬差B所构成的梯形面积。

3 不规则区域面积计算方法的讨论

3.1 规则区域面积计算

3.1.1 高斯投影面积计算分析

由于高斯投影需要控制投影变形，就必须控制投影区域的范围。面积计算受到分带、形变等的影响，但是其方法简便，直接利用平面坐标计算的方法，依然有可取之处。通过以下数据说明高斯投影与实际面积的差距。

表1中的数据取自不同经度差，不同大小的梯形。是为了能得到随机数据，通过上表可以看出，在利用高斯投影直接进行梯形计算时绝对误差较大，得到的相对误差较等面积投影的相对误差明显偏大。根据上表中当经度差等于一度时数据可以看出，实际面积和高斯面积相差很大达到425440平方米，这个误差相当于59个足球场的面积。这个面积差相当明显不能忽视。当经度差减小时，实际面积和高斯面积之间的差值在不断减少，但是这个数据仅仅是对梯形面积进行的比较，还未对不规则图形进行分析。由于高斯投影面积变形与计算区域的中央子午线距离有关，而针对论文中讨论的用梯形作为实际面积的参考物，经度差也就决定了实际面积与投影面积的关系，利用高斯投影做标准梯形的替代情况下，在经度差很小（如表面积相当于121公顷）甚至面积更小的情况下，获得相对误差数量级在E-07这个级别。

3.1.2 等面积投影分析

由方案一可知单独考虑用高斯投影来解决不规则区域面积的计算，不太可行。考虑到等面积投影虽角度长度都有变形，但整体面积投影后没有发生变化，这正是解决区域面积计算的理想方法，利用等面积投影的方法，理论上能够避免不规则区域面积计算的转换损失。将椭球梯形面积与等面积投影面积进行比较可以得到如下数据（Dc距中央子午线距离，De距赤道距离，δ相对误差，△B经度差）。

通过与椭球梯形对比，由上表可以看出：

随离中央子午线距离越远，椭球梯形面积与等面积投影面积并无明显差异，距离中央子午线远近，不会决定面积的大小变化。

对于同样的椭球梯形，面积不会随经度变化而变换，当纬度变化时，面积会以减函数的性质变化。

经度差的大小可以看作是梯形面积的大小，由表中可知，面积越大计算出来的绝对误差就会越大，相对误差应该基本保持在一个水平内不变化（表4的梯形起始最小经纬度分别为L=0°，B=10°）

3.1.3 高斯投影加入改正数后面积计算分析

由第1种方法看，高斯投影在椭球梯形面积越小的情况下，计算面积绝对误差较小，但是这种误差依然无法忽视，能不能通过加入改正数的形式，修正这种误差。由高斯投影的性質不难看出，以中央子午线作为标准线的高斯投影，在中央子午线处面积变形很小，但当远离子午线时，这种形变成曲线上升，呈现出以中央子午线为最低点的开口向上的函数图形。下图为大致函数图像：

图1中趋势可以看出，高斯投影的面积可以通过函数的形式呈现，那么利用函数的方式能够获取改正数，引入高斯投影改正数，从而减小或消除投影时与实际面积的误差。利用最小二乘原理，对上图中的抛物线进行分析拟合，将椭球面积假设为S而高斯投影后的平面坐标面积设为s，它们存在着K=S/s的函数关系，结合1、2中和大量的计算数据通过多组方程得到

K=0.999999888-2.46E-14ym （5）

这个K正是改正数。由此改正数加入高斯投影改正得到如下表所示的数据：（？驻B经度差，St为椭球面积，Sg高斯面积，Kg高斯改正，δ前改正前相对误差，δ后改正后相对误差）

从表5可以看出在经过高斯改正后，相对误差和绝对误差明显减小了一个数量级更加接近实际面积，表明在进行高斯投影时可以引入高斯投影改正来进行梯形面积的计算以达到实际面积。

3.1.4 简单规则图形投影分析

从上面三种方法的数据表来看，对于简单梯形来说，当梯形面积小时，等面积投影和高斯投影面积的相对误差都在很小的范围，但是等面积由于理论上投影时只发生了角度和长度变形，面积并没有发生变形，梯形面积小时等面积投影的相对误差在E-09左右（及构成的梯形的经度差在几秒时），这个误差范围可以忽略。由此可以得出，对于有两条经纬线相交的椭球梯形，利用等面积投影可以较准确得出椭球梯形的实际面积，这种方法直观，容易被理解，经过简单的坐标转换就可以得出，可以采用。同样的利用高斯投影改正后计算面积的方法，也能得到比较准确的实际面积，相比之下这种方法甚至省略了高斯的正反算和等面积投影转换，直接利用平面坐标计算面积，更简单直接，容易实施。第1、3两种方法针对椭球梯形情况下都能得到较准确的实际面积，但各有利弊。

3.2 不规则区域面积计算

3.2.1 等面积投影方法

等面积投影的步骤是首先要将高斯投影后的坐标利用公式：

转换为等面积投影坐标。在程序设计中首先采集的是大地坐标，在通过高斯反算推出平面坐标，再完成上述投影步骤。数据的采集有以下几种类型，这几种类型也是便于对结论进行全面比较的。每组比较采用两个图形进行对比（图例中用长方形表示梯形）。

（1）由相同经度差椭球梯形组成

由表6可以得出如下结论：当不规则区域由面积较大（面积在几千公顷或几万公顷以上）的椭球梯形组成，相对误差较大，通常构成的梯形经度差为分（如表面积相当于110804公顷时）时，其相对误差数量级在E-05左右，而当经度差越小时为秒（如表面积相当于331公顷）时，其相对误差的数量级为E-09左右，这时的实际面积与等面积投影面积基本相等，误差在厘米左右。

（2） 相同经度，不同纬度的不规则区域

图6、7均表示不同纬度相同经度情况下的相同形状的不规则图形，由表中数据可以得到以下结论：经度相同的相同形状的图形，在不同纬度时具有不同的面积大小，并且纬度越大图形面积反而越小。

（3）相同纬度不同经度（距中央子午线远近）

图形由经度差不同的梯形组成，它们的起始经度分别为0°和0°40′10″。

比较数据如表9所示（见图9）：

由表9得到了如下结论：中央子午线远近不影响等面积投影计算的面积，其面积基本属于一个定值，变化很小可以忽略不计。

3.2.2 高斯投影改正法

高斯投影改正是在计算出平面坐标面积的情况下加以改正。下面是高斯投影的几种情况及数据分析：

（1）图形由同等大小的梯形组成

如等面积投影中的图3、4、5，它们分别为经度差为5′、10′、25″的梯形组成不规则图形，有以下数据：

由表10可以得到如下結论：不规则区域越大的图形，其相对误差也相对变大，当单个梯形的经度差为分（面积相当于24929公顷）时其相对误差为E-05左右，当为秒（如表面积相当于331公顷）时相对误差明显变小为E-08左右。同时与等面积投影相对误差相比，等面积投影与高斯投影改正的面积基本在同一数量级。

（2）纬度相同经度不同

如等面积投影中的图6、图7，它们分别为起始纬度为35°、45°10′和45°40′10″、20°50′10″，下面将以两个表分别说明图6和图7，在高斯投影改正中的情况：

由上面两个表可以得出如下结论：当经度相同时相同图形纬度不同面积不同，并且纬度越高所得到的图形面积越小。同时从表中还可以看出，相比于等面积投影，高斯投影改正计算的面积相对误差要大一些。

（3）距离中央子午线远近对面积的影响

如等面积投影中的图8所展示的图形，起始的经度分别为0°和0°40′10″，它们的纬度相同，经度发生变化，经度的变化相当于距离中央子午线的远近发生变化，下面是高斯投影改正后的面积受中央子午线的影响情况：

由表13所示，高斯投影改正面积基本不受距离中央子午线的远近的影响，同时在这种情况下，高斯投影改正后的面积和等面积投影面积基本差不多。

4 结束语

对于大范围的椭球不规则区域的面积计算，与之前章节所分析的一样，由于等面积投影和等角投影一样，都是微分概念，面积越大，形变会增大，如等面积投影中例子来说，当面积达到110804公顷（经度差为10′起始纬度为35°）时，其与实际面积相对误差为E-05这个数量级。而当面积变为331公顷（经度差为25″起始纬度为35°）时，其与实际面积相对误差为E-09这个数量级。由此可以看出当面积如上述达到几万公顷这个级别时，可以说这样的大面积在计算不规则区域时相对误差很大，不太适合进行等面积。但对于小范围如几百公顷面积时的计算本文得到如下的结论：

（1）相同经度差组成的不规则图形，当实际面积为110804公顷（经度差为10′起始纬度为35°）时，等面积高斯投影得到面积，与实际面积有明显差距，通常相对误差达到E-05左右，并且等面积投影精度略高于高斯投影改正后的面积。当面积变为331公顷（经度差为25″起始纬度为35°）时，等面积投影与高斯投影改正后的面积与实际面积明显缩小，相对误差在E-09左右，这个范围内可以认为等面积和高斯投影改正的方法，可以较准确的计算出实际面积。

（2）距离中央子午线的远近，并不会使高斯投影改正面积和等面积投影面积受形变被拉长，这两种方法基本不受中央子午线远近影响。

综合上面的结论，当不规则区域在几百公顷（即经度差为秒时）使用等面积投影和高斯投影改正能够很好的等效计算出实际面积，相对误差很小在亿分之一的范围内，等面积投影和高斯投影改正能够达到同样的效果，不过等面积更加接近椭球区域面积的实际面积。