对高校近世代数课程教学的思考

陈文兵 解晓娟

摘要：本文针对高校近世代数课程教学中存在的问题，从教学内容、教学方法及手段等方面进行阐述，提出了对近世代数课程教学改革的一点思考.

关键词：近世代数；教学；群；环；域

近世代数也叫抽象代数，是师范类院校数学与应用数学专业即信息计算科学专业的一门重要的基础课程，是现代数学的一个重要分支。它也是代数数论、代数拓扑等课程的一门基础课程. 另外，近世代数在现代物理学、现代化学、编码密码学和通信领域有着重要的应用。长期的实践教学表明，近世代数是一门非常抽象的课程，也是一门较难的课程，笔者根据个人的实际教学经验谈谈对该课程的一些教学体会。

一、教学内容

近世代数课程是高等代数的后续课程，一般安排在第三个学期开设，共68学时。 我们学校选取了朱平天等人编著的文献[1]。文献[1]中安排了四章内容，内容比较多，想要在较短的时间内将所有的内容全部学完是不太可能的，所以我们在根据实际和后继课程的需要，在不降低教学要求的前提下，对教材的内容进行大胆的处理和取舍，例如在讲域的扩张的时候，我们只是讲解关于单扩展的一些结果，不给出证明，仅仅让学生心里知道有这样一个概念。另外還需充分调动学生的积极性和主动性，提高课堂教学效果。

文献[1]主要包括群、环、域三大块内容。在介绍这几部分内容的时候需要把握住它们内在的联系。例如在讲解群论这一部分内容的时候，主要通过子群、正规子群、商群、群同态来研究群的结构；在讲解环论部分时，主要是通过子环、理想、商环、环同态来研究环的结构。其次，我们还需要将这几种代数结构来进行比较。群、环、域都是具有一些代数运算的非空集合，群是只有一种代数运算的非空集合，而环和域是具有两种代数运算（加法和乘法）的非空集合，而且环关于加法构成一个交换群，关于乘法构成一个半群，两种运算通过分配率联系起来。域是一类特殊的环，它不仅要求关于加法构成一个交换群，还要求非零元关于乘法构成一个乘法群。因此环和域关于加法都具有交换群的性质，环关于乘法只有半群的性质，而域关于乘法具有群的所有性质。教师在教学中还应该要提醒学生注意环和域所具有的与群所不相同的性质，例如环不一定具有单位元，每个非零元未必可逆等等。

近世代数是一门非常抽象的学科，针对近世代数课程的概念抽象、难于理解的特点，教师在教学中可以列举一些学过的具体的例子来帮助学生理解概念。例如，关于主理想整环我们可以列举一元多项式环和整数环，关于主理想整环的许多结论都是通过推广关于多项式和整数的结论得到；一个无零因子交换环的商域就是模仿整数环和有理数环间的关系构造的；整环里的因式分解理论就是整数中数的分解和多项式的因式分解理论的推广等等。在讲解一些命题、性质和定理时，不能让学生去死记硬背，要让学生正真的理解，清楚这些命题、性质和定理的前提条件为什么是必要的。达到这个目的的最有效的方法就是构造反例。例如，关于素理想和极大理想的关系有定理：在有单位元的交换环R中，极大理想一定是素理想。那么这个结论的条件“含有单位元”是必要的吗？这个问题的答案可从下面的例子容易得到。例：设R是偶数环，Z表示整数环，则4Z是R的极大理想，但4Z不是R的素理想。

在近世代数的实际教学过程中，还需要将理论与应用相结合，让学生多了解这门课程的一些具体的应用，从而激发学生的学习兴趣。例如我么在讲解有限域的时候，可以介绍一些有限域在编码、密碼、通信等领域的一些应用。在编码理论中需要考虑有限域上的线性码和循环码，及利用有限域上的指数和去计算循环码的重量分布等等；在计算机科学和信息科学中的信息都是用二进制数来表示，本质上就是在二元域中的一些运算，所以有限域理论在计算机科学中也有着重要的应用。兴趣是最好的老师，在教学过程中还需要穿插一些名人趣事来激发学生的学习兴趣。例如在讲解交换群的时候，书本上只有简单的交换群的定义。其实交换群也叫Abel群，是以挪威的数学家Abel命名的，此时可以介绍一下数学家Abel的生平和主要贡献，Abel在19岁的时候就解决了五次和五次以上的一般方程不能用根式求解问题。再讲解著名的Caylay定理的时候，可以介绍数学家Caylay对数学的一些贡献等等。这些名人轶事在讲解相应的课程时让学生了解，可以激励学生探索新知识的欲望。

二、教学方法及手段

在讲解近世代数课程时尽量采用启发式教学，让学生多思考，引导学生去学习。例如在讲解商群的定义时，我们可以这样来讲授：设G是一个群，H是G的正规子群，H在G中的左陪集构成的集合为{gH|g∈G}，在这个集合中定义运算aH·bH=abH，则该集合关于这个乘法构成一个群，我们称为G关于H的商群。 此时，需要向学生提问这个乘法运算的定义是否合理？为了验证运算的合理性，需要说明运算与代表元选取无关。即需要证明若

所以我们希望b1可以和hg交换，此即由正规子群可得。这也表明了H是G的正规子群的必要性。然后让学生回忆群的判定，再去证明这个集合关于所定义的乘法构成一个群。

随着现代科学技术的发展，多媒体教学在教学中具有举足轻重的作用。在近世代数课程教学中，我们可以借助一些软件来帮助教学，如Magma软件， GAP软件等等。例如在讲解Lagrange定理的时候，教材上说明了这个定理的逆定理不正确，给出了这样一个反例：12阶的四次交错群没有6阶子群，但没有给出证明，这个反例的证明对于学生来说也是比较难的，我们就可以利用Magma软件来验证等等。

三、小结

近世代数是一门非常抽象的课程，教师要站在学生的角度来考虑如何教学。另外，教师要在平时的教学中不断总结、吸取教学经验，以便让学生能更好地掌握和学好近世代数这门课程，为以后的后续课程做好准备。

参考文献：

[1]朱平天，李伯葓，邹园.近世代数[M].北京：科学出版社，2001.

[2]张禾瑞.近世代数基础[M].北京：高等教育出版社，1978.

[3]卓泽鹏，崇金风. “近世代数”课程的教学探讨[J].淮北师范大学学报（自然科学版），2012，33（3）：8083.

[4]宋蔷薇，李录苹. Magma在近世代数中的应用[J].山西大同大学学报（自然科学版），2015，31（1）：67.

基金项目：国家自然科学基金数学天元基金（11626032）；

安徽省高校自然科学研究项目重点项目（KJ2016A426）

作者简介：陈文兵，男，安庆师范大学数学与计算科学学院，讲师；解晓娟，女，安庆师范大学数学与计算科学学院，助教。