一类具有随机时滞的受扰马尔科夫跳变系统有限时间稳定性

陈海洋 刘妹琴

摘要本文研究了一类具有随机时滞的受扰马尔科夫跳变线性系统的有限时间稳定性问题.通过引入服从伯努利分布的随机变量刻画了时滞变化的随机特性.本文首先分析了系统的随机有限时间稳定性，基于分析结果设计了反馈控制器，使得系统状态在马尔科夫跳变、随机时滞和外界扰动等并存时，在给定时间内收敛于某一区域而不超过指定的上界值，并可获得该上界的具体值.最后通过数值仿真验证了所提算法的有效性.关键词马尔科夫跳变系统；随机控制；随机时滞；线性反馈；有限时间稳定性

中图分类号TP13

文献标志码A

0引言

近几年来，有限时间控制在工程实践中得到越来越多的应用，比如切换系统的控制[1]、马尔科夫跳变系统控制[2]、奇异系统的控制[3]等.相较于渐近稳定特性，对于许多工业应用系统，诸如飞行器的姿态控制、化学反应的温度控制、导弹跟踪控制等而言，我们更加关注其瞬态特性的变化情况，即某段时间的系统特性，而有限时间稳定性（FiniteTime Stability，FTS）则可以很好地对此进行衡量.具体来说，在给定初始条件下，如果系统状态在给定时间内始终没有超出某一指定值，则称该系统是FTS[46].

目前在有限时间控制的研究中，针对马尔科夫跳变系统的成果越来越多.作为一种特殊

的混杂系统，马尔科夫跳变系统在描述具有突变模式的系统如化工系统、制造系统、经济系统等中彰显了强大的建模能力.而所谓的模式突变则往往来源于系统元件的失效、环境的突变、系统工作点的波动等[79].对马尔科夫跳变系统而言，其跳变模式隶属于一个有限的模式集合并随着时间变化在各个模式之间以一定的概率切换，这个切换的概率就称为模式转换概率.

考虑到信息传递速度的有限性，时滞广泛存在于实际系统中，并会导致系统相关控制性能的下降甚至是系统本身的不稳定.在公开文献中，研究人员通常会将时滞当成确定值来处理，而实际上时变的时滞更为常见.正如文献[10]中所指出的，时滞甚至是以一种随机的方式在变化，当然这并不是说时滞完全无法建模，其概率特性仍然可以通过统计数据获得.本文考虑的就是这样一种随机时滞，通过引入服从伯努利分布的随机变量进行建模.需要说明的是，尽管针对具有随机时滞的系统控制研究已经有了很多成果[10-13]，但这些研究绝大多数集中在系统的渐近稳定特性上，对其有限时间稳定性的关注还比较少.而有限时间稳定性，如前文所述，對研究许多重要工业控制系统的瞬时特性具有重要作用.

综上所述，本文将主要研究一类具有随机时滞的受扰马尔科夫跳变系统有限时间稳定问题.通过设计线性状态反馈控制器，使得受控系统在给定时间内克服马尔科夫跳变、随机时滞和扰动的影响，并稳定在某一区域内.

学报（自然科学版），2017，9（4）：430436Journal of Nanjing University of Information Science and Technology（Natural Science Edition），2017，9（4）：430436

陈海洋，等.一类具有随机时滞的受扰马尔科夫跳变系统有限时间稳定性.

CHEN Haiyang，et al.

Finitetime stability for a kind of Markovian jump systems subject to

random delays and external disturbances.

说明大写字母T表示矩阵转置，l2[0，∞）表示平方可积向量空间，Rn表示n维欧几里得空间，Rn×m表示n×m实矩阵集合，I表示相应

阶数的单位矩阵，*表示对称部分，diag{…}表示块对角矩阵，‖x‖表示向量x的欧几里得范数，X>Y和X≥Y分别表示X-Y是正定和半正定的.如果X∈Rp，Y∈Rq，那么C（X；Y）表示所有满足映射Rp→Rq的连续函数的空间，E{x}表示x的期望值，E{x|y}表示y条件下x的期望值，Pr{·}表示事件·的概率，Pr{A|B}表示B条件下A事件发生的概率，λ（·）表示矩阵·的所有特征值.

1问题描述与预备知识

本文考虑如下马尔科夫跳变线性系统：

x（k+1）=A（rk）x（k）+∑qυ=1βυ（k）Ad（rk）x（k-τυ（k））+

Bw（rk）w（k）+Bu（rk）u（k）， （1）

其中，x（k）∈Rn为系统状态，τυ（k）∈[τm，τM]（τM>τm≥0）为随机时滞，u（k）∈Rm为控制输入，w（k）为外界扰动，A（rk）∈Rn×n，Ad（rk）∈Rn×n，Bw（rk）∈Rn×L，Bu（rk）∈Rn×m均为已知的模式依赖矩阵，rk表示离散马尔科夫链，其取值的数值集合为V={1，2，…，s}，模式的转移概率表示为

Pr{rk+1=j|rk=i}=μij，i，j∈V， （2）

其中，0≤μij≤1，∑sj=1μij=1，i∈V.初始条件函数定义为x（k）=（k），k∈[-τM，0]，其中（k）为[-τM，0]上的给定函数.

11随机时滞

我们将时滞[τm，τM]分成（不必等分）q个部分，即[τm，1]，（τ2，2]，…，（τυ，υ]，…，（τq，τM]，

其中，τ1=τm，υ=τυ+1，q=τM，υ=1，2，…，q，q称为时滞分割数.

为了便于理解，我们引入如下标记：

Ξ1={k|τ（k）∈[τm，1]}，

Ξ2={k|τ（k）∈（τ2，2]}，

Ξυ={k|τ（k）∈（τυ，υ]}，

Ξq={k|τ（k）∈（τq，τM]}， （3）

并定义相应的映射关系如下：

τ1（k）=τ（k）， k∈Ξ1，τm， 其他，

τυ（k）=τ（k）， k∈Ξυ， τυ， 其他，υ=2，3，…，q， （4）

即引入q个随机变量βυ（k），υ=1，2，…，q，其概率密度函数δυ（k）为定义在区间[0，1]上的函数，且对应的期望值和方差分别为i和2i.显然，

Pr{βυ（k）=1}=υ且∑qυ=1υ=1.

12范数有界的扰动

我们假定外界扰动w是欧几里得范数有界，并且满足：

‖wg（k）‖≤g，k=1，…，N，g=1，…，L， （5）

其中w（k）∈l2[0，∞），0为了简化表示，我们将Q（rk）表示为Qi，A（rk）表示为Ai，rk=i，i∈V，以此类推.则可得简化表示后的系统（1）为

x（k+1）=Aix（k）+∑qυ=1βυ（k）Adix（k-τυ（k））+

Bwiφ（k）+Buiu（k）. （6）

本文中出现的描述时滞随机性和马尔科夫跳变的两个随机过程是相互独立的.

定义1（随机有限时间稳定性）给定参数0≤c1≤β，Ri>0，i∈V，N∈N0和最大时滞值τM，如果满足如下条件：

E{T（k0）Ri（k0）}≤c21，k0∈[-τM，0]

E{xT（k）Rix（k）}≤β2，k=1，…，N， （7）

则称系统（1）是关于（c1，β，Ri，N）随机有限时间稳定的.

这里我们采用线性反馈设计法进行随机有限时间稳定的分析与综合，即设计如下控制器：

u（k）=Kix（k）. （8）

将式（8）代入系统（6）中可得如下方程式：

x（k+1）=ix（k）+∑qυ=1Adi（βυ（k）-υ）x（k-τυ（k））+

∑qυ=1Adiυx（k-τυ（k））+Bwiw（k）， （9）

其中，i=Ai+BuiKi.系统（9）即为后续工作的研究对象.

2随机有限时间稳定的性能分析

本节主要给出了闭环反馈系统（9）实现随机有限时间稳定性能的充分条件，并进行了相应的证明.

定理1给定Ri>0，N∈N0，d>0，0

综合运用式（11）、（21）以及如下关系式：

E{xT（k）Rix（k）}≤c21，k∈[-τM，0]， （22）

可得：

E{V（k）}≤+αNσ-11 c21+σ-12 τmc21+

σ-13 （τM-τm）c21+σ-14 ∑qυ=1τυ+

（τυ+1+υ）（υ-τυ）2c21 . （23）

注意以下事实：

E{V（k）}≥λminR-12iPiR-12i E{xT（k）Rix（k）}， （24）

所以

E{xT（k）Pix（k）}≤λ-1min R-12iPiR-12i E{V（k）}. （25）

考虑1≥λ-1minR-12iPiR-12i ，式（23）和式（25）可得：

E{xT（k）Pix（k）}

≤+αNσ-11 c21+σ-12 τmc21+

σ-13 （τM-τm）c21+σ-14 ∑qυ=1τυ+

（τυ+1+υ）（υ-τυ）2c21 .（26）

由式（12）可得E{xT（k）Rix（k）}≤β2.根据定义1，定理得证.

3随机有限时间稳定的控制器设计

基于定理1，定理2给出了控制器参数所满足的条件.

定理2给定Ri>0，N∈N0，d>0，00，σ2>0，σ3>0，σ4>0，对称正定矩阵Xi，Y1i，Y2i，Σi满足以下线性矩阵不等式（LMIs）条件：

则称系统（9）关于（c1，β，Ri，N）是随机有限时间稳定的，并且控制器的增益为

Ki=WiX-1i.（30）

证明通过必要的数学计算可得：

Di

5結束语

本文针对一类具有随机时滞和范数有界扰动的马尔科夫跳变系统，在分析其有限时间随机稳定性的基础上，设计了相应的控制器，控制器的参数可通过凸优化算法及相关软件求出.此外，该算法进一步推导给出了系统状态值的上界，直观揭示了系统状态值与初始条件、时间区间长度、时滞以及扰动范数之间的关系，为控制器的设计提供了可操作性的指导.仿真结果表明，控制器有效处理了系统随机时滞和范数有界扰动所带来的不确定性，实现了马尔科夫跳变系统的有限时间稳定.

参考文献

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