2010—2016年江苏高考数学分段函数问题大盘点

朱德存

摘 要：分段函数题型多样，综合性强，能有效考查函数的图象和性质，可以有效考查数学中函数方程思想、数形结合思想、化归转化思想和分类讨论思想，因此分段函数倍受命题人青睐，是历年江苏高考中的热点题型。为增强高考复习的针对性和有效性，本文对2010—2016年江苏高考数学中出现的分段函数问题进行归类分析。

关键词：高考数学卷；分段函数题；盘点

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2016）23-121-1

一、分段函数求值问题

例 （2016江苏高考第11题）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[-1，1）上，f（x）=x+a，-1≤x<0|25-x|，0≤x<1 其中a∈R。若f（-52）=f（92），则f（5a）的值是 。

答案：-25。

解析：f（-52）=f（-12）=f（92）=f（12）-12+a=12-25a=35，

因此f（5a）=f（3）=f（1）=f（-1）=-1+35=-25。

点评：（1）分段函数的考查方向注重对称性、周期性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么，函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上。（2）解决分段函数求值问题要注意：分段函数是一个函数，不是几个函数；分段函数要分段研究。关键在于“对号入座”：即看清待求函数值的自变量所在区域，再用分段函数的定义即可解决。另外要注意区间端点是否取到其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处的函数值。

二、分段函数根与零点问题

例 （2015江苏高考第13题）已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=0，01，则方程|f（x）+g（x）|=1的实根个数为 。

答案：4。

解析：由f（x）=-lnx，01，g（x）=0，02 得到：f（x）+g（x）=-lnx，02，由于

x∈（0，1]时，f（x）+g（x）单调递减，且取值范围在[0，+∞），故在该区域有1根；

x∈（1，2]时，f（x）+g（x）单调递减，且取值范围在[ln2-2，1），故该区域有1根；

x∈（2，+∞）时，f（x）+g（x）单调递增，且取值范围在（ln2-2，+∞），故该区域有2根。

综上，|f（x）+g（x）|=1的实根个数为4。

点评：（1）考查由分段函数构成的方程根的存在性和根的个数。本题考查分类讨论、数形结合的数学思想，是一道综合题。（2）解决此类复杂的分段函数问题要明确这样几点：首先，可以看出构成分段函数的几个区间上函数单调性需要分开单独研究。其次，这几个函数最终合在一起作为一个函数来看待。有关分段函数问题要处理好其中的“分”与“合”。

点评：（1）2015年江苏高考数学可以看出命题人对分段函数与绝对值结合的问题的偏爱，去掉绝对值符号，其本质仍然是分段函数问题。另外，考查了化归思想、分类讨论思想和数形结合思想。（2）在解决与函数性质有关的问题中，需要对函数性质以及函数在不同区间上图象特征要熟悉，结合函数的性质画出函数的简图，根据简图进一步研究函数的性质，就可以把抽象问题变得直观形象，复杂问题变得简单明了，对问题的解决有很大的帮助。

三、分段函数与不等式问题

例 （2014江苏高考第11题）已知f（x）是定义在R上的奇函数。当x>0时，f（x）=x2-4x，则不等式f（x）>x的解集用区间表示为 。

答案：（-5，0）∪（5，+∞）

解析：做出f（x）=x2-4x（x>0）的图象，如下图所示。由于f（x）是定义在R上的奇函数，利用奇函数图象关于原点对称做出x<0的图象，则f（x）=4x+x2，x≤0x2-4x，x>0。不等式f（x）>x，表示函数y=f（x）的图象在y=x的上方，观察图象易得：解集为（-5，0）∪（5，+∞）。

点评：（1）通过以分段函数为载体考查了函数的奇偶性、单调性，不落俗套，命题新颖。（2）解决此类问题关键在于“分类”以及如何根据变量的范围去运用对应的解析式，根据函数性质，作图要特别注意定义域的限制及关键点（如端点、最值点）的准确性。

综观2010年至2016年江苏高考数学，分段函数年年考，常考不衰。今后的高考复习中，我们仍然需关注分段函数，加強研究。