最短路径问题研究

唐娟娟

中图分类号：G633.7文献标识码：B文章编号：1672-1578（2017）05-0179-01

最短路径问题来源于现实生活，初中阶段，主要以"两点之间，线段最短""垂线段最短"为知识基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究。

本节课以实际生活问题为载体开展对"最短路径问题"的课题研究，让学生经历将实际问题转化为数学问题，利用轴对称再把数学问题转化为线段和最小问题，并运用"两点之间线段最短"（或"三角形两边之和大于第三边"）解决问题，体现了数学化的过程和转化思想。

基于以上分析，确定本节课的教学重点：利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题，也即"两点之間，线段最短"问题。能运用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用。

达成目标的标志是：学生能将实际问题中的"地点""燃气管道""河"等抽象为数学中的"点""线"，并能理解实际问题的数学含义，把实际问题抽象为数学的线段和最小问题；能利用轴对称将直线同侧的点转化到直线直线异侧，运用"两点之间，线段最短"解决路径最短问题；在探索最短路径的过程中，体会轴对称的"桥梁"作用，感悟转化思想。

解答"当点A、B在直线l的同侧时，如何在直线l上找到点C，使AC与CB的和最小"，需要将其转化为"在直线l异侧两点的线段和最小值问题"，为什么需要这样转化、怎样通过轴对称实现转化，一些学生在理解和操作上存在困难。

活动1如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你的理由是什么？

追问，为什么这样做就能得到最短距离呢？你如何验证CA+CB最短呢？

设计意图：学生根据"两点之间，线段最短"解决两点在直线异侧的问题，为下面解决两点在直线同侧问题做铺垫。

活动2还是上面的问题，若此时A、B两镇位于输气管道的同侧如图所示，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？

追问1，你能用所学的知识证明此时AC+BC是最小的吗？

追问2，对比下活动一，你能找到两个问题的相同点与不同点吗？你有什么启示？

设计意图：学生比较两种不同的最短路径问题，总结解决两种最短路径问题的方法，体会转化的思想。

这两个例题取材于我们的实际生活，体现数学运用于生活。此处我们遇到的一个难点是如何证明AC+BC最小，学生小组间讨论得出在l上任取异于C点的点，再根据"三角形任意两边之和大于第三边"来进行证明。

感悟探究1、如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地。牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？

2、如图所示，M、N是△ABC边AB与AC上两点，在BC边上求作一点P，使△PMN的周长最小。

3、如图，已知牧马营地在P处，每天牧马人要从营地出发赶着马群先到河边饮水，再带到草地吃草，然后回到营地，请你替牧马人设计出最短的放牧路线。

4、如图，已知牧马营地在P处，牧马人从A地出发要赶着马群先到河边饮水，再带到草地吃草，然后回到营地，请你替牧马人设计出最短的放牧路线。

本节课的讲授，我们以输气管道问题为主线贯穿始终，做了两类变形，即"两点在直线异侧"和"两点在直线同侧"的最短路径问题，以前者为基础和铺垫解决了后者问题，并进一步解决了课本例题。在练习设置上，从巩固到变式，从直接的最短路径问题到需要用相同方法解决的问题，从单纯的数学问题到实际生活的情景，从"两点一线"问题进一步到"一点两线"、"两点两线"问题，如此不断的变化巩固，不断的拓展发散，使得学生的思维真正得到激发。