分类讨论法在高中数学解题中的运用

常松

【摘 要】在高中数学教学中，分类讨论方法是一种重要的解题思路。这种方法需要学生能够从题目整体出发，全面把握，分步骤、有秩序地解题，逐一考虑题目中的隐藏条件。作为高中数学的重要解题思想之一，了解分类讨论的意义，掌握其讨论方法，对高中生的解题速度及解题效率的提升将有很大帮助。

【关键词】分类讨论；高中数学；解题

分类讨论是指问题的研究与解决过程中，所给的对象难以用统一的方法来研究，必须将问题划为几个部分，并分别研究每个部分，最终解决整个问题。在数学学习与问题解决等过程中，数学方法是相关研究活动的运用步骤、程序、格式，有着具体的操作性。分类讨论是一种思维方式，深刻反映了学生对数学问题的认识与处理能力。高中数学教学中，分类讨论一直都是一种重要的数学方法，而且也是高考经常考查的。因此，学生必须要学会用分类讨论来解决数学问题。

一、分类讨论的必要性

作为高中重要的数学思想方法，学生應该深入了解分类讨论解题方法的学习必要性，它主要体现在三个方面：一是对分类讨论的原因要明确。学生解题中必须针对问题明确是不是应该使用分类讨论，如何进行分类讨论，这才是正确的解题想法。大多数情况中，分类讨论的运用是因为题中的一些概念、定理应用范围较窄。比如，如果函数是不连续定义域，那么要想求得其值域，就应该分类讨论各定义域。二是充分掌握分类讨论法。要想高效解题，学生的解题能力则是必须具备的，要能够对分类讨论法熟练运用。并且，分类讨论的使用要正确，则应该有统一的标准，力图不遗漏任何一点。如果出现了至少两种以上的分类讨论对象时，则应该分层次讨论，以保证最终的讨论结果不存在错误。三是整合分类讨论结果。当分类讨论完成时，就应整合结论，将重复的部分去掉，整合交叉部分。但是，不能为使用分类讨论而使用分类讨论，如果能使用整体法解题，则不用进行分类讨论。

二、分类讨论思想的应用

分类讨论是当题目中出现多个隐含条件，单一解法难以对题目进行全面把握的情况下，要分别进行解答，根据一定步骤实施讨论，从而在问题分解的基础上进行综合，得到完整答案。对于学生来说，它能够充分锻炼他们的逻辑推理、分析能力，需要学生勤学苦练。笔者将主要通过高中函数、概率、数列三大重要知识点内容来探究数学解题中分类讨论的相关应用。

（一）函数解题中的分类讨论

在一些有参数的函数问题中，参数值的量变总会对结果产生质变。分析哲学问题的过程中，分类讨论参数，能够简化问题，让学生便捷、灵活解题。比如，在值域的基本题型中，其中二次函数的值域是最重要的问题。一般的二次函数，利用顶点和最值等就可以求出值域。比较困难的就是一些函数有参数问题。有参数的二次函数值域问题可以被称之为限定性的二次函数求值域问题。换言之，自变量x取值并非是所有实数R，而是限定在一定的范围内，譬如x∈（a，b），求函数值域问题。对于这样的问题，只能用分类讨论进行解决。在分类讨论中，要注意对称轴x=-b2a在a的左端，b的右端依然是在区间（a，b）中，所以必须分三类进行讨论。而这个问题需要学生长期反复练习才能达到效果。

（二）概率解题中的分类讨论

在数学概率知识中，相关问题的计算往往要按照问题的要求进行分类，并求出基本事件个数。高中数学中，有的定理自身就是以分类讨论方法来解答。比如，统计概率中的分类计数原理最为典型。做一件事情，可以有N中完成方法，在第一种方案中有M1种不同方法，在第二种方案中有M2种不同方法……在第N种方案中有MN种不同方法，因而完成这件事则共有N=M1+M2+……MN种不同方法。值得注意的是，在数学问题解决过程中，利用对每个难点的分别解决，以多种步骤完成最终解答。在解决这些难点较多、需要分多个步骤的数学问题中，有时我们难以在解决前知道用何种方法最好。因此，分类讨论方法或许就在解题之中因为解题需要而被使用到。此处的解题需要就是说前面的解题步骤让情况变得不确定，或者不唯一。

（三）数列解题中的分类讨论

数列问题中，分类讨论的运用同样广泛。比如探索数列周期性问题、等比数列求和等等，其中都有着很多分类讨论方法的应用思想。分类讨论是一种化整为零、积零为整的归类整理方法，是重要的数学学习方法[2]。而高中数学中，数列是学习重点，也是高考必考点。在通项公式、求前n项和等问题中都会牵扯到分类讨论。但是，高中生在学习利用分类讨论解决数列问题时，必须要注意一些问题。具体来说，一是确定分类对象，统一标准；二是做到不重复、不遗漏；三是分层次、不越级讨论。同时，注意数列问题中要进行分类讨论的是当等差、等比数列定义中由限制条件引发的问题，由公式an=S1，n=1Sn-Sn-1，n≥2的限制引发的问题，或者是因数列求和时正负项、奇偶项、等比数列公比q引发的问题等等。

三、结语

高中数学解题中，分类讨论本身是着眼于问题本身的性质，也是一种有效解决问题的方法。使用分类讨论，可以把问题化繁为简，将那些不明确的问题变成具体问题，并合理分类、逐步探讨、分级归纳。对于高中生来说，掌握分类讨论方法，不但可以对数学基础知识有较为全面的理解，而且对学生逻辑严谨性的训练也大有裨益。