渐开线齿轮的有限元建模方法的研究

侯圣文，李珺

（陕西法士特集团公司汽车传动工程研究院，陕西 西安 710119）

引言

渐开线齿轮在汽车动力总成中起着不可替代的作用。应用商用有限元软件对齿轮进行有限元分析是汽车工程仿真分析的发展趋势，如何实现复杂齿面的有限元精确建模十分重要。本文以常用的渐开线齿轮副为研究对象，研究了有限元精确建模的方法。

1 常用的建模方法

渐开线齿轮的有限元建模的方法比较成熟，常见的方法主要有三种：

方法一：首先基于PRO/E等CAD软件的内嵌式开发语言编写渐开线、螺旋线等曲线方程，然后通过倒圆等操作生成封闭的端面齿廓曲线。其次将端面齿廓沿螺旋线扫略生成轮齿实体。最后将CAD模型导入到CAE软件划分网格生成有限元模型。

由于该方法需要通过格式转化将 CAD模型到 CAE软件，转化过程中模型部分数据丢失。此外，几何模型大多以圆角代替齿根过渡曲线。因此基于方法一建立的有限元模型精度不高，其结果可信度一般。

方法二：基于CAE软件ANSYS的APDL或者ABAQUS的Python语言编写渐开线、螺旋线等曲线方程生成一系列离散点，再通过样条曲线拟合、蒙皮、实体化等操作生成实体，最后对实体进行网格划分。

方法二单元网格的形状与稀疏难控制，在对实体进行分割、划分网格等阶段需要大量重复性的尝试，人为干预过多，实现过程复杂。

方法三：根据端面齿廓形状将端面分割成工作曲线、过渡曲线、轮缘若干区域，再利用FORTRAN或C等编程语言计算出齿廓节点坐标，通过插值获得整个端面的节点坐标，然后将整个端面节点沿齿轮轴向平移同时绕回转轴旋转获得整个轮齿的全部节点，最后通过节点构造单元。

方法三需要对节点和单元进行编号，编程过程比较繁琐，但是实现了有限元建模的参数化、自动化，网格单元的质量高，求解容易收敛。

综合比较三种方法，本文采用有限元自动建模技术,但其过程基于 MATLAB的软件进行编程实现有限元建模的界面化、参数化、自动化。

2 精确建模方法

展成法是齿轮加工中应用最普遍的方法，其原理如下：当产形齿条平移时，被切齿轮绕自身轴线作关联的旋转运动，该过程就是展成运动。其中渐开线是由产形齿条的工作齿面展成，齿根过渡曲线是由刀具尖点或圆弧包络而成。

2.1 产形齿条齿面方程

图1 齿形修形齿轮的产形齿条

图 1为展成修形齿轮的产形齿条。其中：Sa(oaxayaza)、Sb(obxbybzb)均为位移n-n法截面内；(a)、(b)中阴影部分为齿条的齿，空白部分为齿条的槽；(c)中虚线表示齿条齿，yb指向齿条齿顶，指向纸内；uc是齿轮的齿条齿面沿法向齿廓方向的坐标参数；ac为齿廓抛物线系数；S1为基本齿廓节线处的名义齿厚，αn为法面压力角，mn为法面模数；Ld=S1cosαn/2；lc为齿条宽度方向上的齿面参数；β0为被加工齿轮螺旋角，β0＞0表示齿轮右旋，β0＜0表示齿轮左旋，产形齿条螺旋角β=-β0。

齿廓方程在Sa中表示为：

式中+号表示左侧齿面，-号表示右侧齿面。

在产形齿条坐标系Sc(ocxcyczc)中，产形齿条齿面方程为：

其中：Mba、Mcib分别为坐标系间转换矩阵。

2.2 齿轮的齿面数学模型

齿轮齿面 Σ1由齿条齿面 Σc包络而成，其展成坐标系如图2所示，其中：坐标系Sf（Of-Xf-Yf-Zf）与机床相连的固定；Sc（Oc-Xc-Yc-Zc）、S1(O1-X1-Y1-Z1）分别为与产形齿条、小齿轮固连；Sc是齿条沿Yc方向的位移；φ1是齿轮的转角，且φ1=Sc/rp1；rp1是小齿轮的分度圆半径。

图2 齿轮展成坐标系

图3 齿轮齿面仿真

齿轮与齿条的共轭运动就是齿轮节圆柱平面和齿条节平面相互进行纯滚动。根据齿轮啮合基本原理，齿面上任一点K成为接触点的条件是该点的相对运动速度矢量应位于过该点的两齿面的公切面内，即满足啮合方程：

将Sc坐标系下的产形齿条齿面方程rc(uc，lc)，经空间坐标变换矩阵可以表达出坐标系S1下被展成的齿轮齿面r1(uc，lc，φ1)。由于φ1可表达为uc与lc的函数，所以齿轮齿面只有uc与lc两个变量，其表达式可以写为r1(uc，lc)。

如图3所示，利用Matlab软件编程求解工作齿面的非线性方程组，获得齿面离散点，实现数值齿面的可视化。

2.3 精确建模

根据端面特点，可将端面分割成工作曲线、过渡曲线、齿槽、轮缘等区域。通过对不同区域分别划分网格，就能很好地控制单元数量、网格质量。如图4所示，沿齿廓将工作曲线AK、齿根过渡曲线KI、半齿厚AG、半齿槽IB分别等分为NAK、NKI、NAG、NIB，那么端面齿面的节点编号为：

图4 端面网格

图5 齿轮有限元模型

根据Matlab求解获得的齿面数值矩阵，通过插值可以获得沿着齿宽方向所有截面上的节点坐标， 再通过相邻截面对应的八个节点，便可以构造出所有六面体单元。通过Matlab的专用编程生成能直接导入ANSYS环境的APDL命令流文件。有限元模型的结果如图5所示。

3 结论

本文详细介绍了渐开线齿轮的有限元精确建模方法：基于Matlab编程生成专用程序，可进行齿面数值仿真，控制齿高、齿宽方向的网格密度，生成能够直接导入 ANSYS或ABAQUS等CAE软件工作环境的模型数据文件等。本方法除了比较方便实现圆柱齿轮的齿廓或齿向修形，还能用于圆弧齿轮、弧齿锥齿轮等复杂空间齿面的有限元精确建模。

参考文献

[1] 齿轮手册编委会.齿轮手册（第二版上册）[M]. 北京：机械工业出版社, 2007.

[2] 侯圣文.新型点接触抛物线齿轮的齿面设计与轮齿接触分析[D].西北工业大学,2014.

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[4] 顾守丰,连小珉,颜磊,等.斜齿轮轮齿三维有限元网格自动生成及细化[J].清华大学学报(自然科学版),1996, 36(8):77-82.