承压稳定井流的径向基配点法数值模拟浅析

邢泽宁，周德亮，李 冰

(辽宁师范大学 数学学院，辽宁 大连 116029)



承压稳定井流的径向基配点法数值模拟浅析

邢泽宁，周德亮，李 冰

(辽宁师范大学 数学学院，辽宁 大连 116029)

将径向基函数配点法用于求解承压含水层中地下水向井的稳定流动问题。主要考虑存在井群情形时径向基函数配点方法的应用。通过对具体实例计算分析显示，用径向基函数配点法求解该问题的计算精度及效率较高，结果理想。

径向基函数；配点法；稳定井流；井群

无网格法[1]是求解偏微分方程的一种数值方法。它可以彻底或部分的消除网格结构，方便地在求解域内增减结点。无网格法避免网格生成的复杂过程，有助于提高问题的求解精度，降低求解难度，在科学计算领域得到越来越大的重视。其中径向基函数配点法[2][3]，具有实施过程简单、计算精度和效率高、与空间维数无关等优点，是一种典型的无网格方法。本文用径向基函数配点法求解承压含水层中的稳定井流问题,讨论有数口井存在时该方法的应用。

1 径向基函数配点法

对于给定的定解问题

L{u(x)}=f(x)，x∈Ω

(1)

B{u(x)}=g(x)，x∈∂Ω

(2)

其中设Ω是有界区域，∂Ω是Ω的边界，L是偏微分算子，B是边界微分算子，f(x)g(x)为给定的函数。指定中心点ξ1，ξ2，…，ξ1n，配置结点x1，x2，…，xN⊂Ω。

(3)

(4)

其中φ(‖x-ξj‖2)表示径向基函数。

考虑平面承压稳定井流混合问题[4]。

其中，T为导水系数，h(x，y)为水头函数，ε(x，y)为越流补给强度，q为补给量，qk为第k口井的开采量，ρk为第k口井的半径。

图1 井点处的Voronoi多边形

2 对井群的处理

实际计算显示，和传统的数值方法一样，用径向基函数配点法求解时如果直接从问题(5)进行离散，将会在井口附近产生较大的误差，使结果不可用。因为井口相对于求解区域非常接近为一个点，从数学角度讲是一个奇点，当前解决这一问题的常规方法是把问题(5)转变为如下的等价形式

图2 计算域及结点配置图

图3 应用径向基函数配点法的近似解

3 数值模拟

在计算区域上按图2所示布置结点。由此得到的水头函数的近似解、解析解图形分别如图3、图4所示，参数c取为0.03。可见应用此法求解承压地下水向井群稳定流动问题具有一定的可行性，计算精度较高，近似效果理想且与传统的边界元法、有限单元法、有限差分法等相比避免了网格生成的复杂性，具有计算程序容易实现，结点配置灵活，计算量小等优点从而有效降低工程实施过程中的难度和费用。

图4 解析解

[1]Liu G R.Mesh Free Methods:Moving Beyond the Finite Element Method[M].Boca Raton,USA:CRC Press,2002.

[2]Franke C, Schaback R. Solving partial differential equations by collocation using radial basis functions[J]. Appl Math Comput, 1998, 93: 73-82.

[3]Sharan M, Kansa E J, Gupta S. Application of multiquadric method for numerical solution of elliptic partial differential equations[J]. Appl Math Comput, 1997, 84: 275-303.

[4]孙讷正.地下水流的数学模型和数值方法[M]. 北京:地质出版社.1981.7-48,110.

[5]周培德.计算几何——算法分析与设计[M].北京：清华大学出版社.1995. 88-92.

2016-12-26

邢泽宁(1992-)，女，辽宁昌图人，在读硕士研究生，主攻方向：偏微分数值解法及地下水数值模拟。

周德亮(1960-)，男，辽宁沈阳人，副教授，主要从事偏微分数值解法及地下水数值模拟研究。

P641.2

A

1004-1184(2017)02-0032-01