对一道等效重力问题的拓展

景文成

(长春师范大学物理学院 吉林 长春 130021)

对一道等效重力问题的拓展

景文成

(长春师范大学物理学院 吉林 长春 130021)

从一道等效重力场的典型例题出发，通过延伸和拓展，挖掘其隐藏在问题背后的共性规律——等效重力观点．从而对解决复合场中同类问题起到一定的引导作用，提高解题效率．

等效重力 圆周运动 类平抛运动 类斜上抛运动

物体在多种场(重力场、匀强电场、磁场、浮力场等)中运动，将多种场的作用化多为一，用一个全新的“复合场”来研究物体的运动规律，可使研究的问题简洁灵动,这个复合场就是“等效重力场”.利用等效重力场的思想方法来处理问题，是一类常见而又颇有难度的问题．这类问题学生往往找不到突破口，受制于自身的思维而不得要领．在教学中教师通过典型问题为载体，进行针对性的延伸讲解，学生是能够受益匪浅并豁然开朗．

【典型例题】

A.小球到达C点时对轨道压力为2mg

C.适当增大E，小球到达C点的速度可能为零

【答案】A,D.

图1 例图

从这道题来看，如果借助等效重力场的方法，来解答会显得很简洁清晰，也会有助于学生以后能够利用等效重力的观点来解决问题，下面对每个选项进行分析(为了便于研究，等效重力用G′表示)．

1 当qE=mg时，对小球由A→C→B过程的分析

从小球由A→C过程来看，由于电场力竖直向上，重力竖直向下，但是大小相等，所以等效重力为零，亦即等效重力不做功，弹力总指向圆心起到向心力的作用，可知由A→C为匀速圆周运动．因此可对O→C全程由动能定理列方程

解得

由于H=R，则

在C点由牛顿第二定律得

拓展

继续研究小球从C→B的运动，此时等效重力G′(等效重力为真正的重力)竖直向下，那么小球能上升多高？能否离开B点？

解析:

借助等效重力场的思想，由A→C等效重力不做功，只需比较H与R的关系即可．讨论如下.

(1)H>R时，小球从B点飞出做竖直上抛运动，如图2所示.

图2 借助等效重力场思想，分析带电小球在电场中运动

由动能定理有

mgH-mg(R+h)=0

解得

h=H-R

式中h为距B点的高度.

(2)H=R时，小球恰好到达B点速度为零．

(3)H

mgH-mgh′=0

解得

h′=H

式中h′为距C点的高度.

2 适当增加E，等效重力方向竖直向上情况的分析

本题C选项， 适当增大E，由A→C过程得出qE>mg，两个力方向相反，等效重力G′=qE-mg，方向竖直向上，如图3所示.

图3 适当增加E，带电小球的受力分析

此时C点相当于竖直平面内重力场中的最高点，显然要过最高点满足

可知，在C点速度要求

所以C选项不正确．

本题的D选项，可知等效重力

G′=qE-mg=mg

方向竖直向上，小球刚好到达C点，列式如下

再由O→C全程动能定理得

联立可得

拓展

适当增大E(为某一确定值)此时等效重力G′=qE-mg，小球恰好过C点，H要满足什么条件？

解析：

进行受力分析如图4所示，计算如下

联立可得

讨论如下：

图4 适当增大E，小球恰好过C点

那么小球刚离开轨道F点时下降的高度(距A点)？计算如下.

设在F点刚好离开轨道，可知

等效重力为

G′=qE-mg

由O→F全程列动能定理可得

在F点刚要离开轨道，由等效重力G′沿半径方向分力提供向心力可得

由几何关系得

联立可得

式中h为AF间竖直高度.

3 适当减小E，等效重力方向竖直向下情况的分析

适当减小E(为某一确定值),小球将怎样运动？减小E，可得出qE

分析可知，小球由A→C一直加速运动，一定能过C点．下面从高度H满足什么条件来延伸思考能否到达B点？

如果恰好到达B点的速度为零，此时可以看到A→C→B相当于只有电场力做功，因此由O→B动能定理全程列式可得

mgH-qER=0

由此可知

讨论如下：

mg(H-h1)-qER=0

解得

mgH+(mg-qE)R-mgh2=0

解得

4 各种场力与重力不在同一直线上的情况的分析

各种场力与重力不在同一直线上，物体可能做圆周运动、类平抛运动、类斜上抛运动等．此时可以把两个力进行合成当作等效重力G′来处理．

4.1 利用等效重力解决圆周运动问题

如图5所示，一个摆线长为l,质量为m的带正电摆球，悬挂在方向水平向左的匀强电场中．小球由水平位置A，从静止开始向下运动，且到达竖直位置时，速度恰好为零．求小球运动过程中，摆线受到的最大拉力．

图5 摆球为带正电的球体，单摆在电场中运动

小球从A运动到B，动能增量为零．因为摆线的拉力不做功，电场力(qE)对小球做的负功必定等于重力(mg)对小球做的正功，即

qEl=mgl

即

qE=mg

可见，小球受到的电场力与小球的重力大小相等，如图6所示，小球到达B后，将在A与B之间来回振动．

图6 单摆在电场中运动的受力分析

小球通过平衡位置时，绳的拉力大．根据类似机械能守恒，小球在平衡位置速度最大，且为

根据牛顿第二定律

所以，绳的最大拉力为

4.2 利用等效重力解决类平抛运动问题

(1)带电微粒运动速度的大小和方向？

(2)若微粒运动到P点的时刻，突然将磁场撤去，那么经多少时间微粒到达Q点？(设PQ连线与电场方向平行)

图7 运动电荷在电场和磁场中运动

由于微粒做匀速直线运动，可知洛伦兹力与电场力和重力的合力(G′)平衡，如图8所示,θ为G′与水平方向的夹角，由于

所以

θ=30°

图8 洛沦兹力与电场力和重力的合力平衡

由平衡条件得

则微粒的速度大小为

与水平方向的夹角为

α=90°-θ=60°

磁场撤去后，微粒从P到Q做类似平抛运动，如图9所示，等效重力加速度为

图9 磁场撤去后微粒运动情况

在沿着v的方向有

x=vt

在垂直于v的方向有

又因为

所以运动时间为

4.3 利用等效重力解决类斜上抛运动问题

如图10所示，一带正电的小金属块A以初速度v0从光滑水平高台上飞出．已知在高台边缘的右侧足够大空间中存在水平向左的匀强电场，小金属块A所受电场力大小为其重力的2倍．则金属块运动过程的最小速度是多少？

图10 带正电小金属块从水平高台飞出

解法一：设经过t速度达到最小

在水平方向只受电场力作用做匀减速运动，加速度大小为

水平速度为

vx=v0-at=v0-2gt

在竖直方向做自由落体运动，竖直速度为

vy=gt

则金属块的速度

很明显借助函数求最值的方法很繁琐，不容易求解．

解法二：将金属块的电场力和重力合成为等效重力G′，设G′与qE间夹角为θ再将初速度v0分别沿着G′方向和垂直于G′方向分解(图11)，则

vx0=v0sinθ

vy0=v0cosθ

图11 利用等效重力求解类斜上抛运动

分析可知，在x轴方向一直做匀速直线运动，在y轴方向做匀减速直线运动，当vy=0时金属块在等效重力G′的最高点速度最小．因此可得

vmin=vx0=v0sinθ

而

所以

解法二是利用等效重力的观点解题，计算简洁思路清晰．

5 小结

本文着重研究了在静电场与重力场中竖直方向上等效重力的问题，在教学中发现学生最不容易考虑竖直方向上的等效重力，所以本文进行了分析探讨．在另外的一些问题中会出现其他场力与重力不在同一直线上的情形，此时可以把两个力进行合成当作等效重力来处理，再利用牛顿定律解题时就看成一个力进行合成求得加速度；在利用动能定理解题时，直接利用等效重力的做功列方程，更能事半功倍提高解题效率．

1 王平杰.高中物理思想方法提炼与拓展.杭州：浙江大学出版社，2012.45～47

景文成(1978- )，男，在读硕士研究生，主要研究方向：课程与教学论(物理).

李春杰(1963- )，男，教授，主要研究方向：物理教育.

2016-11-07)