鸡兔同笼问题各种解法的联系

摘 要：鸡兔同笼是数学界经典问题，以解法策略的多样性凸显其魅力，有算术的巧算法和代数的方程方法，本文列举解决鸡兔同笼的解法，分析解题策略，探索各种方法之间内在联系。

关键词：鸡兔同笼；解法

鸡兔同笼是中国古代的数学名题之一。大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚。问笼中各有几只鸡和兔？

日本有“龟鹤算题”，例如：“龟鹤合计共10只，共有28條腿，问龟鹤各有多少只？”就是从中国古代的“鸡兔同笼”问题演变来的。

仔细想想就知道，这是一种脱离生活实际的空想问题。因为鸡和兔（或龟与鹤）是完全不同的动物，数总数时自然会知道会有几只鸡、几只兔。由于它们的脚也长得完全不同，故在数总数时，知道其各自是多少也不会错。因此，这个问题仅仅是作为一种智力测验的问题。

“鸡兔同笼”问题之所以成为数学名题，魅力在于解决问题策略的多样性，体现思维的灵活性、创造性，从不同解法还可发现数学的发展（算术到代数），体会数学的解放感及力量感（张景中语）。

许多小学算术应用题都可以转化成这类问题， 用解它的典型解法来求解。到中学的方程中也是典型问题，近几年国家公务员考试对这类问题也有考查，因此学会它的解法和思路很重要。

本文列举解决鸡兔同笼的解法，分析解题策略，探索各种方法之间内在联系。

解决方法一：列表穷举法

原题数较大，根据化繁为简的思想方法，可从简单的问题入手，先研究“有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有10个头，从下面数，有28只脚。问笼中各有几只鸡和兔？

从这张表可以看出，脚的总数为28时，有6只鸡，4只兔，即为答案。

当然，在具体列表解决时，只用列到第5行，脚总数与题吻合。

这是一种原始的、一步一步纠正错误的方法，用试探错误的方法解决。思维含量较低，适合低年级儿童。目前，鸡兔同笼问题已进入小学四年级教材，解决时，就是用列表运用尝试的办法探索规律，得出结果，使学生感受这是数学探索的一种有效途径。

但若数字较大的话，要画这张表就太费事了。例如原题（35头，94足），这张表要列到35行，工作量很大！效率低。因此，应当寻求更好的解决方法。

解决方法二：假设法

观察表中所列脚总数可知，它是每次2只递增的。这是因为每次是以4只脚的兔来替换2只脚的鸡的缘故。10只鸡、0只兔时有20只脚，由此要变成28只脚就必须增加8只脚。据此8÷2=4， 应将4只鸡转换成兔。我们可将这种思考方法称为假设法。

假设法————假设都是鸡

（1）如果笼子里都是鸡，那么就有10×2=20只脚。

（2）多出 28—20=8。

（3）一只兔比一只鸡多2只脚，也就是有8÷（4—2）=4只兔。

（4）所以笼子里有6只鸡、4只兔。

用此方法，即使数字较大，也不难解了。

比如回到原题（35头，94足），如果笼子里都是鸡，说的生动些，不防可以假设先让兔子都抬起2只脚，那么现在就有35×2=70只脚，现在的脚数和原来差94-70=24只脚，这些都是每只兔子抬起2只脚，一共抬起24只脚，用24÷2得到兔子有12只，用35-12得到鸡有23只。

兔子站起——想得活！

假设法————假设都是兔

把每只鸡的两个翅膀也当作脚，那么每只鸡就有4只脚，与兔的脚数相同，则鸡兔共有脚35×4=140只，多了140-94=46只脚，这就是鸡的翅膀数，所以鸡有46÷2=23只，兔有35-23=12只。

把鸡翅膀当作脚——想得妙！

假设法————抬脚法1

假如让鸡抬起一只脚，兔子抬起2只脚，还有94÷2=47（只）脚。笼子里的兔就比鸡的脚数多1倍，这时，脚与头的总数之差47-35=12，就是兔子的只数。

金鸡独立，兔子站起——想得巧！

假设法————抬脚法2

假如鸡与兔子都抬起两只脚，还剩下94-35×2=24只脚 ， 这时 地上只有兔子的脚，而且每只兔子有两只脚在地上，所以有24÷2=12只兔子，就有35-12=23只鸡。

让鸡飞起来，兔子站起——想得绝！

不管怎么说，从前的这种鸡兔同笼仍属一种较困难的计算题。

解决方法三：代数方程法

然而这种从前鸡兔同笼难题，随着数学的发展，若用代数方程这种新式武器来解决，就方便多了。用代数方程既可以用一元一次方程也可以用二元一次方程组解决。

一元一次方程

解：设兔有x只，则鸡有（35-x）只。

4x+2（35-x）=94

4x+70-2x=94

（4-2）x=94

2x=94-70

2x=24

x=24÷2

x=12

35-12=23（只）

由上可见，这里出现的94-70与之前假设法相同，把它用4-2来除也与之前相同，而 35×2的出现是理所当然的，这不就是假设先让兔子都抬起2只脚后， 现在就有的35×2=70只脚吗？

或 解：设鸡有x只，则兔有（35-x）只。

2x+4（35-x）=94

2x+140-4x=94

2x=46

x=23

35-23=12（只）

答：兔子有12只，鸡有23只。

二元一次方程组

解：设兔有x只，鸡有y只。

x+y=35 ①

4x+2y=94 ②

解二元一次方程组有代入法、加减法，以下列出各种解法，再看看与之前解法的联系。

代入法：

由①得：y=35-x ③

把③代入 ② 得：4x+2（35-x）=94

4x+70-2x=94

（4-2）x=94

2x=94-70

2x=24

x=24÷2

x=12

35-12=23（只）

答：兔子有12只，鸡有23只。

可看出此种解法消元后与一元一次方程解法一致。

加减法

法1： ①×4得：4x+4y=35×4=140 ③【假设都是兔，则鸡兔共有脚35×4=140只】

③- ② 4y-2y=140-94【多了140-94=46只脚，这就是鸡的翅膀数】

2y=46

Y=46÷2

Y=23

把Y=23 代入① 得：x=12

∴ x=12 Y=23

可看出这就是巧算法中的“把鸡翅膀当作脚”法

法2：①×2得：2x+2y=35×2=70 ③

②- ③ 4x-2x=94-70【假如鸡与兔子都抬起两只脚，还剩下94-35×2=24只脚】

2x=24

x=24÷2 【每只兔子有两只脚在地上，所以有24÷2=12只兔子】

x=12

代回①得：Y=23

可看出这就是巧算法中的“让鸡飞起来，兔子站起”法。

法2：①×2得：2x+2y=35×2=70 ③【 先让兔子都抬起2只脚， 现在就有35×2=70只脚】

②- ③ 4x-2x=94-70【現在的脚数和原来差94-70=24只脚， 兔子一共抬起24只脚 】

2x=24

x=24÷2 【每只兔子抬起2只脚，用24÷2得到兔子有12只】

x=12

代回①得：Y=23

可看出这就是巧算法中的“兔子站起”法。

法3： ②÷2 得：2x+y=94÷2=47 ③ 【鸡抬起一只脚，兔子抬起2只脚，还有94÷2=47（只）】

③ - ①得：2x- x=47-35 【脚与头的总数之差47-35=12，就是兔子的只数】

x=12

代回①得：Y=23

可看出这就是巧算法中的“金鸡独立”法。

综上所述，鸡兔同笼问题解决的方法很多，从列举、算术巧算到代数方法，这些不同的方法策略所展现的魅力，正是这个问题流传到国外、从古流传至今，成为经典的原因！各种巧妙方法，令古今中外数学家赞叹不已。这种思维方法叫化归法。化归法就是在解决问题时，先不对问题采取直接的分析，而是将题中的条件或问题进行变形，使之转化，直到最终把它归成某个已经解决的问题。数学是思维的科学，数学教学是思维的教学——数学对于发展学生的思维是至关重要的，问题是数学的心脏，鸡兔同笼问题是一经典！

同时，通过本文对各种方法的比较，我们发现列举、算术巧算到代数方法各种方法并不是独立不相关的，其实只是呈现表述方式不同，本质是一样的。正如莱布尼茨所说，是“换个方式来考虑的”。每种做法都是一种创新，创新人才的培养，应该是核心素养研究和培养的根本目的。

参考文献：

[1]《数学》四年级下（人民教育出版社）.

[2]《数学》七年级上（人民教育出版社）.

[3]《数学与生活》（ 日本）远山启 （人民邮电出版社）.

[4]《数学课程标准》（北京师范大学出版社）.

作者简介：和文涛（1969-2），男，中央民族大学毕业，云南大学附属中学教师，高级教师，数学教研组长，2010年国培计划培训团队研修项目华师大初中数学班结业，云南省名师讲学团成员，曾荣获昆明市优秀园丁，一直从事初中数学教学研究。