借助直观模型，理解算理

张敏桃

摘 要 《义务教育数学课程标准（2011年版）》中明确指出要培养学生的运算能力。借助直观模型帮助学生理解乘法分配率在乘法竖式中的运用过程，培养学生多向思维、优化和转化思想、数形结合思想。

关键词 计算方法 直观模型 数学思想

1背景与问题

运算能力是学生学习数学的一种基本技能，《义务教育数学课程标准（2011年版）》中也明确指出要培养学生的运算能力。“两位数乘两位数的笔算乘法（不进位）”属于“数与代数”这一领域中“数的运算”这个板块，三年级上学期学生学习了多位数乘一位数的笔算乘法，下学期在此基础上继续学习口算乘法及两位数乘两位数的笔算乘法，按道理来说，学生随着年龄的增长，对理解抽象知识和迁移能力应该也越来越强，老师估计学生对于“两位数乘两位数的笔算乘法（不进位）”这个知识点的掌握情况应该比较乐观，但在实际的教学中，学生的知识反馈并非如我们想象那么好，这引发了我对计算教学中建立“直观模型”必要性的思考。

2事例与点评

前几天，同年级组的同事和我一起“同课异构”上了三年级下册“两位数乘两位数的笔算乘法（不进位）”，基于她对本教学内容的理解和本班学生的能力考量，她觉得放手让学生自主学习，学生能通过自学知道“两位数乘两位数（不进位）的笔算方法”，并且会计算，这样新课知识点就解决了。为此，她设计了自学提纲让班上学生在课前完成（如下图）。

从学生完成的自学提纲来看，学生基本都完成得比较好，课堂上小组交流后汇报计算方法，感觉学生也已经掌握了“两位数乘两位数（不进位）的笔算乘法”的计算法则和方法。但再深入提出问题及在做练习的时候，我发现学生出现了以下的问题：

① “竖式中各数所表示的是什么？”只有一部分同学知道，一部分同学“知其然而不之所以然”。

② 课本练习十中的第一题虽然会算，但不会说发现了什么？（如下图1）

③ 做练习时计算十位的时候有的学生把乘的顺序位置调转了（如上图2）。

看似简单的一节课，学生存在的问题真不少。不难发现，课前，教师过高估计了自己学生的学习能力，轻视了操作探究和用图示表征解释算法在计算教学的作用。平常不少教师也觉得计算教学没有什么可讲，学生在课堂上探索计算过程会花较多的时间，于是省去了课本提供的“点子图”的有效利用，只是试图通过口算与竖式的沟通，直接让学生把旧知识转化为新知来理解算理、掌握算法，这种缺乏以操作辅助形象理解、不使用“直观模型”的教学是不符合三年级小学生的认知规律的。

3分析与研究

心理学家认为，小学是学生运算能力形成的最重要的阶段。运算能力不仅包括会算和算正确，还包括对于运算的本身要有理解，这样才有助于寻求合理、简洁的运算途经解决问题。学生只有经历实践活动，才能在算法和算理上达到平衡，才有利于学生的思维发展。我们不能只追求计算方法，而忽略学生的真正理解。在新课程标准指导下，我们更有必要为学生提供便于观察、转化的直观模型，引导学生把抽象的算理具体化、形象化，帮助学生在沟通转化中掌握算法，才能有效提高学生的运算能力。

3.1充分发挥点子图的作用，“花”时间让学生开展探究活动

让学生经历知识的形成过程，是新课程倡导的重要改革理念之一。教科书是重要的课程资源，是供教学利用和加工的资源，我们要合理配置和有效利用，才能改善数学课堂教学。

全体学生都在探索、交流中体会不同的解题策略，为学习竖式计算做准备。课本提供给我们的思维方法只有两种（如下图），但在这样的实践交流活动中，学生呈现的计算方法很多，給学生体验了解决问题算法的多样化，这样也为后续四年级学习的知识“简便运算”提供了学习的基础。学生通过运用旧知识解决新问题，得到了14€？2=168的正确答案，教学中渗透了“转化”的数学思想，而学生在点子图留下的思维痕迹，将更好地理解竖式计算中的各数意义。

3.2沟通“算法”与“算理”

算法是计算的方法，是解决“怎么算？”的问题，算理是计算过程中的道理，是解决“为什么这样算？”的问题，算法是显性的，算理是隐性的。学生在交流14€？2的多种算法时，我引导学生对不同计算方法的点子图进行比较、归纳和分类，得出口算的解决方法是：分-乘、分-乘-合。大部分学生觉得分-乘-合这种方法计算起来比较方便，学生优化的思想得以渗透，而这种计算算理恰恰就是“乘法分配率”，就是两位数乘两位数笔算方法的算理。算理的理解辅以了图形的支撑，点子图这个直观模型成为了学生理解算理的桥梁，数形结合的思想也蕴含其中。

对于前面遇到的问题，第①和第③学生很容易就通过探究活动的点子图找到答案，而第②个问题，继续可以通过前面圈画点子图的方法让学生探究发现：两个两位数相乘，把这两个两位数分别拆成几十和几，把两个几十和几分别相乘，再交叉相乘，最后把4个积相加，就得到这两个两位数相乘的积（如下图）。通过这样的对比、探究，学生更加明白两位数乘两位数乘法竖式的写法，第一层的“66”是怎样来的，第二层“220”又是怎么来的，省略了的“0”跟前面学习除法竖式一样，可以更加美观，这节课的重、难点都解决了。

4引申与思考

一节两位数乘两位数（不进位）乘法竖式计算的教学，借助直观模型帮助学生理解乘法分配率在乘法竖式中的运用过程，通过图形与符号的沟通与转化，给予学生充足时间的探究、讨论、总结，使学生充分理解“两位数乘两位数的笔算”算理。在这看似简单的教学行为上，培养了学生的多向思维、优化和转化思想、数形结合思想。教师在平常的教学过程中，要“舍”才会有“得”，舍得花时间组织学生多动手操作，让学生经历用图示表征解释算法的过程，学生的思维空间才会得到拓展，这也将成为学生运算能力发展的重要基石。