浅谈正比例和反比例的判断方法

李秋云

在小学六年级数学第十二册正、反比例意义教学中，我发现学生虽然初步理解了正比例和反比例的意义，学会判断正、反比例的量，但是对正、反比例的概念和判断学生是比较混淆和出错的。正确判断正、反比例关系是对比例意义的进一步运用，也是解答比例应用题的基础和关键。那么如何准确判断两种量是否成比例，成什么比例？我认为应该从以下几个方面入手。

一、分清三种量

首先要弄清两种量是不是相联的量，那种量是固定不变的量，“相关联”是什么意思呢？顾名思义，“相关联”就是有联系，有关系。即一种量的变化会引起另一种量的变化。如速度和里程是有联系有关系的：功效和时间、长方形的面积和它的宽等都分别是相关联的量。路程和功效就不是相关联的量，因而久谈不上什么比例关系。圆的周长=直径×π，其中π就是固定不变的量。李叔叔从家到工厂，骑自行车的速度和所需的时间成什么比例判断中，其中从家到工厂的路程是固定不变的量，骑自行车的速度和所需的时间是两种相关联的量。例如：圆的周长一定时，直径和圆周率学生会误认为反比例。其实不是，这是因为周长一定，圆周率本身就一定，这三个量都成了定量，就不是比例关系了。圆的周长=直径×圆周率。所以正确的说法是圆的周长跟直径成正比例，这里圆的周长不一定。

二、列出关系式

看两种相关联的量是否存在着商或积的关系。这是判断正、反比例的核心所在，成正、反比例的两相同之处都是一种量变化，另一种量也随着变化。不同之处是正比例变化方向相同，反比例变化方向相反，正、反比例关系式不相同，正比例是比值（也就是商）一定，反比例是积一定。例如“苹果的单价一定，购买苹果的数量和总价是否成正比例”，这是因为：“总价/数量=单价（一定）”，所购买苹果的总价和数量成正比例关系。又如：“平行四边形的面积一定时，它的底和高是成什么比例？”我们稍加分析就得出：“底×高=平行四边行的面积（一定），”所以说底和高成反比例关系。例如：“正方形的边长和它的面积是否成比例。”从表面上看，正方形的面积是随着正方形边长的扩大（或缩小）而扩大（或缩小）的，但是根据：S=a2得出：“S/a=a”，这里的边长a是一个变量，所以不符合正比例关系特征。又例如：“圆的面积和半径是否成正比例”，乍一想，圆的面积随半径扩大（或缩小）而扩大（或缩小），但是根据：S=πr2得出S/r=πr，因为半径r不一定，所以πr就不一定，而S/r2=π（一定），因此，我们说，圆的面积和半径不成正比例关系，而是圆的面积跟半径的平方才成正比例关系。

三、要找准常量

常量就是比例关系中的定量，这种现象在面积，体积等公式中经常会出现。例如：三角形的面积一定时它的底和高成什么比例？因为S=ah，公式中的给学生判断增加了难度，但是公式稍作变换可以得出ah=2S，因为S一定，即“2S”也一定，所以底和高成反比例關系。

四、等式非乘或除，不存在比例关系

有些相关联的量，虽然也是一种量的变化，另一种量也随着变化，但两种量中的相对应的两个数的比值或积也不一定，就不成比例，如人的身高和体重就不成比例，又例如：“播种的总公顷数一定，已经播种的公顷书和剩下的公顷数是不是成反比例？”我们知道，播种的总公顷数一定，已经播种的越多，剩下的就越少，它们是相关联的量，但是二者的关系是：已经播种的公顷书+剩下的公顷数=要播种的总公顷数（一定），它们的和一定，而不是积一定，所以它们不是反比例关系。因此不能把“增加或减少”误认为是“扩大或缩小”。

五、乘除有机结合，判断正、反比例

因为乘法和除法是互为逆运算，由“因数×因数=积”可得出 “积÷因数=因数”。所以正、反比例可以统一为一个式子：因数×因数=积，如果积一定，两个因数就成反比例关系。其中一个因数一定，积和另一个因数成正比例关系。例如：“速度×时间=路程”关系式中，路程一定时，速度和时间的积就一定，所以速度和时间成反比例：时间一定时，路程和速度的商就一定，它们就成正比例关系。

总而言之，对正、反比例额判断一定要根据它们的意义来判断。教学中教师要充分调动学生学习的主动性，培养学生思维的灵活性，引导学生从不同角度，不同侧面去思考问题，探究其中的规律，培养学生创新思维的能力。