初中几何证明入门学习之我见

严兴泉

学习了三角形全等和等腰三角形有关知识后，可以寻找到几何证明入门的一些方法。以证明两条线段相等为例来谈点体会，与大家商榷。

一、基本图形是寻找论证两条线段相等途径的基石

在初学几何图形中，我们可以把两个三角形全等和一个等腰三角形当做基本图形。另外，我们在证题中还要注意以下的图形：

①与一个角的一边平行的直线与另一边和这个角的平分线相交构成的三角形是等腰三角形。如图1：AP平分∠MAN，C在AM上，CB//AN，CB交AP于B，则△ACB是等腰三角形。由AP平分∠MAN得∠1=∠2，由BC//AN得∠2=∠3，所以∠1=∠3，所以AC=BC。

②一个角的平分线的垂线与这个角的两边相交所得的三角形是等腰三角形。如图2：

AP平分∠MAN，D为AP上任一点，过点D作BCAP，交AM于C，交AN于B，则△ABC是等腰三角形.由AP平分∠MAN得∠1=∠2，由BCAP得∠3=∠4=90°，易得△ABD△ACD，则AC=AB.

另外还有一个图形也值得大家去领会与掌握：

③一个三角形的两条高中任意一条高与另一条高所在边组成的锐角相等。如图3：

△ABC中，AD，BE是两条高，则∠1=∠2，由AD是高得∠3=90°，所以∠1+∠C=90°，同理∠2+∠C=90°，所以∠1=∠2.

以上五个图形在寻求证题方法时我们要把他们当作基本图形来看待，会得到事半功倍的效果。

二、寻找被证线段所在图形的位置是证等线段的基本思路

证两条线段相等的基本思路是：（1）所证等线段分居在两个三角形中，可设法证全等；（2）所证等线段在一个三角形中可设证等腰三角形；（3）若不能直接利用前面两种方法时可借助第三等量转换或综合利用（1）与（2）来思考。现在就从两线段所处的位置关系来思考，可从以下四种情况出发寻找证明途径：

1.所证等线段有公共端点，且不共线，一般可证全等或等腰三角形。

如图4：△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，BE平分∠ABC，BE交CD于F，则CE=CF.

思考： 将CE，CF放在一个△CEF中，证∠5=∠6，借助基本图形3，可得∠1=∠A，用角间关系得∠5=∠A+∠3，∠6=∠1+∠4，而BE平分∠ABC，所以∠3=∠4，所以∠5=∠6，从而得CE=CF。证明略。

如图5：△ABC中，BD，CE是高，在射线BD上截取BF=AC，在射线CE上截取CG=AB，连结AF，AG。求证AG=AF。

思考：我们将AF，AG放一个三角形△AGF中，但不易证出，由条件借助基本图3易得∠1=∠2，从而可将AF，AG放在△ABF和△GCA中，用SAS证△ABF△GCA，得出AG=AF。

由以上两题可知我们务必把握已知条件，结合图形特点，寻找恰当的三角形（两个或一个）来证明。

2.所证等线段有公共点，且共线，可证其公共点为中点，考虑构造全等或寻求第三等量。

如图6：在四边形ABCD中，AB//CD，AD//BC，求证：AC，BD互相平分。

思考：AC，BD互相平分，即证OA=OC，OB=OD。我们可以把它们放在△AOD和△COB或△AOB与△COD中，证其全等。由平行条件可得两组对应角相等，缺少一组对应边相等，根据AB//CD，AD//BC，可证△ABD△CDB或△ABC△CDA，得AD=CB或AB=CD，从而可证。

如图7：△ABC中，AD是高，∠ABC=2∠C，延长AB到E，使BE=BD，连接ED并延长交AC于F，求证：F为AC中点。

思考：先从条件出发，由BE=BD得∠1=∠E，又∠ABC=∠E+∠1=2∠C，所以2∠1=2∠C，所以∠1=∠C，又∠1=∠2，所以∠C=∠2，从而有DF=CF.下证AF=FD即可，由ADBC，所以∠3+∠2=90°，所以∠4+∠C=90°，已證∠2=∠C，所以∠4=∠3，所以FD=FA，从而有AF=CF，得F为AC中点.这里我们借助第三等量DF来证明F为AC中点。

如图8：四边形ABCD中，AD//BC，BE平分∠ABC交CD于E，若AEBE，求证：DE=CE。

分析已有条件可发现与基本图形①②相仿，如图8-1延长AE交BC的延长线于F，得基本图形②，易得△ABE△FBE，所以AE=FE，再证明△ADE△FCE可得DE=CE。或如图8-2延长BE，AD交于G，得基本图形①，由条件得∠1=∠2=∠G，所以AB=AG，又AEBG，所以BE=GE，证△DGE△CBE，得出DE=CE。

由此可见，在平时的论证中要注重反思，不断积累经验与方法，才能更有效来解题。

3.所证等线段没有公共点，且共线，寻找（构造）三角形全等或借助全等和等腰三角形来转换。

如图9：在四边形ABCD中，AB=CD，AD=CB，作AEBD于E，CFBD于F，求证：BE=DF。

思考：从条件可以直接得到△ABD△CDB，从而有∠1=∠2，∠3=∠4，如果我们把BE，DF放在△ABE与△CDF中，就用∠1=∠2即可.（若证BF=DE，可放在△BCF与△DAE中，利用∠3=∠4）。证明略。

如图10：△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC交AC于E，交CD于F，过F作FG∥AB，FG交AC于G。求证：AG=CE。

分析：由图4题的结论可知CE=CF，下可证AG=CF，抓住BE是角平分线与FG//AB，可构造两个直角三角形，作FHBC于H，作GIAB于I，由角平分线的性质得FH=FD，由GF//AB得GI=FD，所以GI=FH，可证Rt△AGIRt△CFH，或利用图9中的第二种方法，设法证AE=CG，可作EMAB于M，这时EM=CE，所以EM=CF，从而△AEM△GCD，具体证明请读者完成。

4.所证等线段没有公共点，且不共线，可证全等与等腰或借助全等与等腰三角形来转换。

如图11： △ABC中，AB>AC，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线交于D，作DEAB于E，DFAC，交AC的延长线于F，求证：BE=CF。

由角平分线的性质可得DE=DF，由垂直平分线的性质可得BD=DF，从而构造△BDE与△CDF。

如图12：△ABC中，D在AC上，E在AB上，BD、CE交于F，且∠DBC=∠ECB=∠A。求证：BE=CD。

思考：把BE，CD放在△BEF与△CDF中，显然这两个三角形不全等，根据给出的角的关系可在△BEF上截出一个△BEG，设法证出等腰△BEG和△BG F△CDF，这样来做：在FE上截取FG=FD，连接BG，可证△BGF△CDF，然后再

证BG=BE.设∠DBC=∠ECB=∠A=∠α，设∠ACE=∠β，则∠1=∠α+∠α+∠β=2∠α+∠β，∠2=∠A +∠β=2∠α+∠β，所以∠1=∠2，所以BE=BG，从而BE=CD。

以基础知识和基本图形为基石，以从证明线段所在位置的四种情形来思考，寻找全等或等腰三角形，适当时添加辅助线构成全等或等腰，得到问题的解决，从而提升几何入门学习的效率和步伐。