巧借方格原型培养二维空间观念—《长方形和正方形的面积计算》教学及思考

○冯桂群

巧借方格原型培养二维空间观念—《长方形和正方形的面积计算》教学及思考

○冯桂群

●教学“长方形和正方形的面积计算”一课，抓住长度单位与面积单位的对应关系，准确地表述选方格、算方格的思维过程，培养学生的二维空间观念。

长方形的面积计算公式一直是公认的看似简单却很难学透的知识点。学生很容易将长乘宽的积后面的单位，仍写成长度单位“米”“分米”“厘米”，这是因为他们还没有清晰地认识到，这里用来测量面积的直接工具是方格，方格的面积只能是“1平方米”“1平方分米”“1平方厘米”等。要破解这一教学难点，关键就是紧抓“方格表象”不放松，让学生在灵活选方格、心中摆方格、快速算方格、口中说方格中，真正建立面积测量和计算的基本模型，将空间观念由一维拓展到二维。

一、测量实物面积，突显“度量方格”的具象与数量

师：上节课我们认识了3个面积单位和3个方格朋友。请拿出面积最小的方格，谁来介绍它的边长与面积？

生：边长1厘米的方格面积是1平方厘米。

师：较大的方格呢？

生：边长1分米的方格面积是1平方分米。

师：这个最大的方格呢？

生：边长1米的方格面积是1平方米。

师：要直接测量出这个手帕的面积，用什么方格比较合适？

生：边长1分米、面积1平方分米的方格。

师：估测一下，可以摆满这样的几个方格？面积是多少？

生：大约可以摆4个，所以是4平方分米。

师：验证一下你的估测结果！（电脑显示手帕图）咦，手帕上只摆了2个1平方分米的方格呀？

生：我们一眼能看出，如果摆满的话，每行2个，共2行，2×2=4（个）。4个1平方分米是4平方分米。

师：直接测量这张邮票的面积用什么方格呢？

生：边长1厘米、面积是1平方厘米的方格。

师：面积是多少？怎么想的？（电脑显示邮票图。）

生：邮票上只摆了3个方格，但由此可以看出，如果摆满的话，一行摆3个，摆2行，一共是6个方格，面积就是6平方厘米。

师：能像上面这样列式和表述吗？

生：3×2=6（个），6个1平方厘米是6平方厘米。

师：直接测量我们教室地面的面积呢？（出示教室地面示意图，标明长12米、宽8米。）

生：用边长1米、面积是1平方米的方格。

师：一共可以摆多少个1平方米的方格呢？结合看实际教室地面大小和示意图，在头脑里摆一摆方格，再数一数、算一算，然后在4人小组里交流。

生1：一行摆12个方格，摆8行，一共是96个。

师：你怎么知道就只能一行摆12个，摆8行呢？

生2：因为方格的边长是1米，12米里面只有12个1米，8米里面只有8个1米，所以只能一行摆12个，摆8行。

生3：可以算出来，12×8=96（个）。96个1平方米是96平方米。

小结：刚才我们通过先选方格、再算方格，成功地求出了多个物体的面积。

建构长方形面积模型的关键就是“方格度量”，核心问题就是“用什么方格量”“方格个数是多少”。抓住了这两个问题，其余的“为什么求长方形的面积用长乘宽”“为什么几米乘几米的结果是几平方米”等问题也就迎刃而解了。借助实物方格去测量生活中的物体，学生的生活经验和认知经验被激活了，“方格”鲜活的具象特征自然被深深地印在了学生的头脑里，成为他们在观察、选择之后进行想象、推想、表述等理性思考的重要表象支撑，成了把握知识本质的重要载体。

二、测量图形面积，凸显“方格度量”的策略与方法

师：如果将测量对象由实际物体换成较抽象的平面图形，你还能用“选方格、算方格”的方法来求图形面积吗？

师：老师这儿有两个长方形（长与宽分别是8米和5米、8分米和5分米），这两个图形一模一样吗？怎么想的？

生：不一样！虽然都有数字8和5，但长度单位不同！

师：那分别选怎样的方格来测量它们各自的面积呢？为什么？先跟同桌说说自己的想法。再独立完成图形下面的研究报告。

(交流略)

师：老师这里还有4个平面图形，你能快速地说出选什么方格去分别测量它们的面积，结果是多少吗？先在4人小组里每人说一个图形，再集体交流。

追问：第4题为什么选择边长是1厘米的方格来测量？

师：回想刚才的学习过程，你有什么发现？

生：我发现，长方形面积=长×宽，正方形面积=边长×边长。

……

小结：数学的学习过程是追求简约的。以后我们可以直接用长乘宽或边长乘边长求出长方形或正方形的面积，记得得数后面一定写上跟测量方格相对应的面积单位！

长方形面积测量的关键就是“逼”着学生乐此不疲地想如何选方格、如何算方格。为此，我们精心设计了“看图形边长——选合适方格——心中摆方格——快速算方格——求图形面积”的探究活动，使学生在由易到难的对比情境和变式情境中，反复经历看、选、摆、算的推想过程，逐步经历由较低层次的具象、表象活动，到较高层次的抽象思维过程，从而真正实现面积计算公式的内化，发展学生的二维空间观念。

三、计算图形面积，彰显“数学模型”的应用价值

师：你能快速计算下面3个图形的面积吗？先写一写，再集体交流思路。

追问：解答第3题时要注意什么？

生：要注意统一长度单位，并用边长1厘米、面积1平方厘米的方格去测量。

师：你们真能干！小马虎想请大家帮他完成一道选择题：一个长方形会议室的地面长12米、宽10米，面积是（1）12×10=120（平方厘米）；（2）12×10=120（米）；（3）12×10=120（平方分米）；（4）12×10=120（平方米）；（5）（12+10）×2=44（米）。正确答案的序号是几，其余的答案为什么是错误的？

生：正确的答案是（4）。算式和单位名称都是对的！

……

师：大家觉得我们在计算长方形的面积时要注意什么？

……

师：如果现在要大家测量学校篮球场的周长与面积，选什么工具来测量更方便快捷呢？身边能用得着的工具有：1平方米的方格、1米长的棒、5米长的卷尺、1平方分米的方格。

（生答略）

师：最后看一道拓展题——一张长24厘米、宽20厘米的长方形纸片，如果将它裁成边长是整厘米数的方格而正好没有剩余，可以裁成什么样的方格呢？裁成的方格个数又是多少呢？有一定的挑战性，课后继续思考吧！

第1、2题，既巩固了面积公式的实际运用，又针对学生中的常见错误进行了辨析与强调，还让学生在表述、填写、辩论等多元表征中，再次明晰测量面积的关键要素，即选什么方格量、方格数量是多少，再次感悟方格的长度单位与面积单位的对应关系、方格与图形的长度单位及面积单位的一致性，加深学生对长度单位与面积单位对应关系的印象。第3题，既培养了学生创造性的实践意识和实践能力，又巧妙地引领学生进行了新旧知识的对比与整体建构。而最后的拓展应用，不仅再次回到本课的重要思维节点——选什么方格、方格个数，又给学生创造了一个极具开放性和挑战性的思考平台，让学生兴趣盎然地走向课后的思考征途！