HPM视角下的概念课教学

☉湖北大学数学与统计学学院 张素婷

HPM视角下的概念课教学

☉湖北大学数学与统计学学院 张素婷

教育部考试中心发布的2017年普通高考考试大纲修订内容指出：要增加数学文化的内容.而数学史作为数学文化的重要组成部分，它与数学教学的融合，一直以来都是HPM工作者研究的热门领域之一.HPM（International Study Group on the Relations between History and Pedagogy of Mathematics）是数学史与数学教学关系国际研究小组的简称，自成立以来，数学史的教育价值已经受到普遍认可，在高中数学新课程中渗透数学史与数学文化的教学，有助于学生了解数学在人类文明发展中的作用，逐步形成正确的数学观［1］.

概念课作为数学学习最重要的课型之一，其高度的抽象性和逻辑的严谨性对培养学生的核心素养有至关重要的作用.如何挖掘数学史的教育元素，使数学史的教育价值在数学概念教学中得以体现［2］，这里主要结合概念学习的特点，借鉴了汪晓勤等学者的研究，对概念教学的每一个环节如何使用数学史料提出了更为细致的策略.

一、情境引入史料，激发学习兴趣

数学概念是反映现实世界空间形式和数量关系本质属性的思维形式.数学概念的形成过程主要有这样几个阶段，如图1所示.

图1

数学概念的抽象化和符号化使数学概念的学习非常枯燥无味.学生对概念的学习不可能仅仅通过抽象的定义和符号的记忆来实现和完成，而要依赖特定的情境才能获得其意义［3］.情境能够产生数学概念形成所必需的实例.新颖有趣的情境能让学生耳目一新，充分调动学生学习的积极性.数学史中有大量有趣的史料可以加工成为合适的情境来引入，将数学史渗透到概念教学中，可有效激发学生学习数学的兴趣，启发学生思维.笔者对学生调查问卷的结果也显示，在情境引入环节讲述有趣的数学史故事较受欢迎.讲述这些故事，不是为了哗众取宠，而是为了加深对概念的理解，突显数学的文化价值.认知理论和教学实践告诉我们：兴趣、动机是学生主动学习的前提［4］，但兴趣不能保证持续整节课.因此，在选择史料时，体现数学史趣味性原则的同时，应瞄准教学目标，明确数学史料在情境引入中的作用，整体把握数学史料与数学概念之间的密切关联，避免为了趣味性而去数学化.

基于此，笔者设计了概念教学情境引入数学史的工作流程，如图2所示.

图2

比如，在讲指数函数的定义时，可用著名的国王与棋盘的故事来抽象出指数函数的实例：

在古代，有一个聪明的大臣发明了国际象棋，国王想要奖励他，然而大臣却只想要一些麦子，他说：“请陛下在棋盘的第一个方格里放1粒麦子，第二个方格里放2粒麦子，第三个方格里放4粒麦子，以后每一格都是前一格的两倍，直到第64个方格.”国王哈哈大笑，“你真蠢！这要这么点麦子？”大臣不动声色地说：“我只担心您的国库里没有这么多麦子……”

接下来请学生用所学的指数运算表示出第x+1个方格的麦子数.

通过这个口口相传的数学史故事，激发学生的学习热情，并且从情境中获得y=2x这个重要的指数函数.

然而，数学概念的形成需要大量的实例反复感知，仅有这一个函数无法归纳出指数函数的本质属性.因此，笔者对这个故事情境进行了续集改编，从而得到另一个重要的指数函数：

棋盘事件让国王颜面尽失，但国王非常好学，通过学习，他对指数函数有了新的认识，于是他又召见了大臣，说：“我很遗憾国库里没有这么多麦子，但我这里有一根1米长的金手杖，我决定在10天之后把它赏赐给你，但从今天起，我每天要拿走金手杖的一半.”［5］

这样，用数学史故事引入，让学生在“新、奇、趣”的情境中获得概念形成所必需的实例，高效地完成了概念学习的第一步.

二、帮助形成概念，突破教学难点

概念形成以直接经验为基础，在反复感知各种例证的基础之上，归纳出事物的本质属性，其学习形式接近于人类自发形成概念.一般地，在教学条件下，学生掌握概念不经历概念形成的漫长过程，而是运用教学情境和典型实例的有效创设，在教师的帮助下“速成”.通过提供大量明显的具体例子，引导学生从实际经验的例证中，观察、比较、分析、归纳、概括出事物的本质属性，较快地获得新概念，因此不可避免地舍弃了某些数学概念产生的由来、形成、发展和演化过程.

庞加莱指出：“教育工作者的任务就是让孩子的思维经历其祖先之所经历，迅速通过某些阶段而不跳过任何阶段.”如果学生能从数学史中了解概念如何产生，获得的过程碰到怎样的困难，以及如何解决的，也就能够深入理解概念.教师在概念教学中，可以将有益于学生深刻理解该数学概念的数学史素材融入数学课堂，有选择地从数学史上那些让数学家也曾困惑的问题出发，设计类似的情境，再次让学生身临其境，从而了解概念的形成和发展、来龙与去脉.让学生“再经历”，进而“再创造”.这也符合数学新课程标准的理念，“标准”指出：“要展现知识的发生、发展、形成和应用的过程，加强数学学习活动，提供学生亲身感受、体验的机会.”

为了阐述数学史在概念形成中的地位，笔者设计了图3：

图3

从图3可以看出，数学概念可通过多种教学活动来感知、获得、巩固、强化，例如，数学史只是其中的一个途径，至于选择哪种途径，要根据教学内容来分析.有些数学概念与数学史密切相关，教师是否运用数学史将直接影响教学效果.

例如，在对数的概念教学中，引入这样一个数学故事：16世纪末，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法称为当务之急，苏格兰数学家纳皮尔（J.Napier，1550—1617）正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的运算而发明了对数，对数的发现是数学史上的重大事件，天文学界更是以近乎狂喜的心情来迎接这一发明.伽利略说过：“给我空间、时间及对数，我就可以创造一个宇宙.”今天，我们可以用计算机快速求出对数，而在400年前这简直是不可想象的！17世纪，纳皮尔经过对运算体系的多年研究，精心编制了8位对数表，后经人完善，得到广泛使用，解决了天文学、航海等众多领域的一系列课题.尽管作为一种计算工具，对数表已经不实用了，但是，对数的思想方法却仍然具有生命力.正如法国数学家拉普拉斯曾说：“如果一个人的生命是拿他一生中的工作多少来衡量的话，那么对数的发明，等于延长了人类的寿命！”类似这样的案例在概念教学中适当介绍，能使学生感受到对数发明的重要，加深对数概念的理解.

像这样的案例还有许多，在高中函数概念的学习中，可介绍函数符号f（x）演变成f的过程，让学生了解函数概念的发展历程，纵向把握函数的概念.更多的案例数不胜数，需要教师深入思考、主动挖掘数学史料中有助于学生获得概念的教学资源.

三、丰富教学资源，拓宽数学视野

在学完数学概念后，经常有学生会提出疑问：“为什么要发明对数？”“对数为什么要换底？”“为什么有了角度制还要学习弧度制？”“为什么初中已经学过了函数的概念，高中还要学习函数的概念？这两种概念的区别是什么？”“学习复数有什么用？”……要解答诸如此类的问题，数学史是极好的素材，在概念的简单运用与辨析环节，搜集相关概念产生的实际问题的数学史背景（如图4），不仅能丰富教学资源，还能解答学生关于数学概念产生的困惑与疑问，拓宽学生的数学视野，从而提高他们的数学素养.

图4

比如，在学生理解了数学期望的概念后，教师让他们课后分小组合作解决下面的问题（史称“点数”问题），在下一次课上讨论.

若有甲乙两人（赌技相当）各出赌金96金币，规定必须要赢3场者才能赢得全部赌金192金币，但比赛中途因故终止，此时甲、乙胜局数为2∶1.问：此时应如何分配赌金？

A认为，其赌金分配应就其胜局比数，即2∶1，按比例分配，因而甲可分得金币，乙可分得=64金币.

B认为，赌金的分配应该考虑若不终止比赛，两人各须赢几场，按其各需赢得场数反比分配，即甲已赢2场，须再赢1场就可获全部赌金，而乙已赢1场，须再赢2场就可获全部赌金，因此甲所须赢场数∶乙所需场数=1∶2，故其反比为2∶1，则甲应分得金币，乙应分得金币.

C认为，根据至多需要几场比赛才能看出赢家，如果甲需要再比m场才赢；乙需要再比n场才赢，则需再经过m+n-1场才能宣布赢家，以胜局比为2∶1为例，接下来的两场比赛可能结果如下（a代表甲胜，b代表乙胜）∶aa（甲胜）、ab（甲胜）、ba（甲胜）、bb（乙胜）.因此，甲乙两人应得赌金之比为3∶1，即甲应得金币，乙应分得金币.

D认为，甲赢2局，乙赢1局，再掷下一次时，若甲赢了，他将得到全部的192枚金币；若乙赢了，他们所赢局数比为2：2，在这种情况下分赌金，每人将拿回自己的96枚金币.综上所述，若甲赢了将得192枚金币，乙将获得0金币；若甲输了则会拿到96金币，乙会拿到96金币，因此，甲至少可拿到96金币，乙至少可拿到0金币.假设他们不继续赌下去的话，可将96枚金币先给甲，至于剩下的96枚金币，可能甲得，可能乙得，机会是均等的，所以甲乙平分剩下的96枚金币，甲乙各得48枚，因此甲得144枚金币，乙得48枚金币［6］.

问题：运用你学过的概率知识，此赌金分配问题该如何解？为什么？

尽管这里没有出现任何一位数学家的名字，但所涉及的4种分赌金的方法分别是15世纪意大利数学家帕西沃里（L.Pacioli，1445—1509）、卡兰奇（F.Calandri），以及17世纪法国数学家费马（P.de Fermat，1601—1665）和帕斯卡（B.Pascal，1623—1662）的解法.将历史名题蕴藏在概念简单运用环节，再现了数学史上著名的分赌金问题，让学生对数学期望的概念有了更深刻的认识，而且渗透了数学文化.

1.中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）［J］，北京：人民教育出版社，2003.

2.李铁安，宋乃庆.高中解析几何教学策略——数学史的视角［J］.数学教育学报，2007（2）.

3.黄永明.数学课程标准与学科教学［M］.南京：南京大学出版社，2011.

4.党宇飞.提高数学教学情境时效性的基本原则和方法［J］.中学数学（上），2015（9）.

5.杨玉东，王兄.运用关键性教学事件分析支撑中国式数学课例研究［J］.数学教育学报，2015（3）.

6.汪晓勤，张小明.HPM研究的内容与方法［J］.数学教育学报，2006（1）.