对含有“任意”与“存在”不等式问题的解题探析

内蒙古赤峰第四中学 张子慧

对含有“任意”与“存在”不等式问题的解题探析

内蒙古赤峰第四中学 张子慧

高考试题多数都是在知识的交汇点处命题，而不等式问题恰好是知识交汇点的最好载体之一。在解决不等式问题中，经常含有“任意”与“存在”等词，因对这两个词理解不透，同学们往往用尽了洪荒之力，也不得其解。下面通过几例及变式（即题组）对这两个概念进行深入探析，希望起到抛砖引玉的作用，解除你的烦恼。

一、“任意”、“存在”仅含一个

解：已知m的范围，可设关于m的一次函数或常数函数为：

点评：1.在例1与变式1中，都出现“任意”指的是对于给定的区间的每个值都能使不等式成立，“任意”等价于“所有”、“一切”、“都”、“每一个”等词语。

2.对于例1与变式1，若不仔细看，还误认为是一个题，其实它们区别很大，例1知道x的范围，所以x是自变量，它就是关于x的二次不等式，求m的范围，m就是参数。变式1知道m的范围，所以m是自变量，它就是关于m的一次不等式，求x的范围，x变为参数。

3.无论是相应的一次函数还是二次函数，恒大于零等价于在给定区间上其相应的函数图象都在x轴的上方，否则相反。上面两个题还可以用分离变量，然后设一个新函数，再求导，确定增减区间来求解。

点评：此处“存在”指在某区间内只要有一个值满足不等式成立即可，因此直接求不易操作，但它是特称命题，这个命题的否定形式就是全称命题，这样就容易解了，运用了“正难则反”方法，然后再求补集即可，给解题者带来了耳目一新的感觉。

二、“任意”、“存在”含有两个

以上对含有“任意”与“存在”不等式问题的解题探析可知，只有清楚“任意”与“存在”问题的内涵与外延以及它们的区别与联系，才能正确解题。同时也知道含有“任意”与“存在”的不等式与对应的函数在定义域上的值域的最值有着密切关系。例题及例题的变式，从不同角度、不同侧面研究了一串问题，通过类比、拓展，摒弃了题海战术，变被动思维为主动自觉思维，形成“趣学”、“乐学”的氛围，培养良好的求异思维，发散性思维，从而对分析问题和解决问题能力的培养大有裨益。由此可见，对含有“任意”与“存在”的不等式问题及变式的探析较好地体现了新课程的理念，具有鲜明的时代性。