探讨几个数学逻辑联结词的内涵

【摘 要】本文简要阐述逻辑学中的几个重要概念，并运用例子来解析这些概念，为更好地理解和运用这些概念提供参考。指出逻辑学是人们在生活和工作中必不可少而且非常重要的学科，研究数学问题时，很多思维活动和知识领域都要应用逻辑知识，逻辑学在学习数学、应用数学和研究数学等活动中有着举足轻重的作用。

【关键词】数学 逻辑 联结词 内涵 探讨

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2017）01B-0090-02

思维科学是一个学科群体，思维科学主要揭示思维的本质属性和各种规律。逻辑学属于思维科学的范畴，它是人们在生活和工作中必不可少而且非常重要的学科。生活和工作中的很多事件都能通过逻辑的推理得以弄清来龙去脉，而且用逻辑学的方法能够解决很多生活和工作中的问题。因此，在生活和工作中逻辑学起到了不可忽视的作用。研究数学问题时，很多思维活动和知识领域都要应用逻辑知识，逻辑学在学习数学、应用数学和研究数学等活动中有着举足轻重的作用。

一、知识点分析

（一）命题

命题，判断一件事情真假的语句叫命题。

一条语句是否为命题，关键在于该语句能不能判断该事情的真假，若一语句不能判断真假，那么该语句就不是命题。应该注意，命题和开语句（无法确定其是真是假的语句）的区别。如“y>3”就是开语句，因为没有给出 y 的确定的值时，无法判断“y>3”的真假。再如“求证方程 a2+a+1=0 无实根”是祈使句，无法判断它的真假，所以不是命题；“向英雄学习”是感叹句，而无需判断真假，因此它也不是命题。

（二）逻辑联结词

1.“或”“且”“非”这些联结语句的词语叫逻辑联结词。

2.数学中“或”这个逻辑联结词和日常生活用语中的“或”的意义是不同的：日常生活的“或”用语带有“不可兼有”（即不能同時具备）的意思，例如吃饭或上街；而数学中的这一逻辑联结词却含有“同时兼有”的意思，如 a>5 或 0≤a<10。

3.“或”字与集合的“并”字密切相关。

（1）在集合的运算中，并集是用“或”来定义的：

M∪N={x|x|，x∈M 或 x∈N}。

（2）它们两者的外形相似：“p 或 q”的含义存在三种情形：

情形一，只有 p 成立；情形二，只有 q 成立；情形三，p和 q 同时成立。这三种情形依次对应于集合并集中的情形一（CUN）∩M；情形二（CUM）∩N；情形三 M∩N。

（3）两者之间的区别：集合的运算中的并集强调的是一个“整体”，这个整体可以看做是由三个部分组成的；而逻辑联结词“或”字则是用来联结两个命题，把它们组成一个复合命题，当复合命题成立时，也有三种情况。

二、应用剖析

（一）怎样判断一个命题是复合命题

用逻辑联结词联结的命题就是复合命题，而不用逻辑联结的命题则是简单命题。要判断一个命题属于简单命题或者属于复合命题，不能仅从字面上看它是否含有“或”“且”“非”等这些逻辑联结词，而应该从命题的结构来看是否可以用逻辑联结词来联结这两个命题。有些命题表面上没有这些词，但它是复合命题。如“能被 5 整除的数个位不是 0 就是 5”是复合命题，它的意思和“能被 5 整除的数个位是 0 或 5”一样；而“对角线垂直且相等的四边形是正方形”这个命题，虽然含有“且”，但它却不是一个复合命题，而是一个有复合命题条件的简单命题。

（二）如何判断一个复合命题的真假

为了方便识记，上面的真值表可简单表述为：“p 或 q”一真必真，“p 且 q”一假必假，“非 p”真假相反。

三、思维迁移

（一）如何准确写出一个命题的否定命题

1.对“若 A 则 B”型命题的否定

虽然对一个命题的否定是对该命题的结论进行否定，但必须保证与真值表相符合。

例如：写出下列命题的否定形式。

（1）若张三是 A 学校的学生，那么张三就是 A 学校一年级（一）班的学生；

（2）如果 x+y=0，那么 x=0，y=0；

（3）如果 a 是有理数，那么 a 就是自然数。

分析解答：

（1）命题“若张三是 A 学校的学生，那么张三就是 A 学校一年级（一）班的学生”的否命题是：若张三是 A 学校的学生，那么张三就不是 A 学校一年级（一）班的学生；

（2）命题“如果 x+y=0，那么 x=0，y=0”的否命题是：如果 x+y=0，那么 x≠0，y≠0；

（3）命题“如果 a 是有理数，那么 a 就是自然数”的否命题是：如果 a 是有理数，那么 a 不是自然数。

2.全称否定与特称否定

非 p 叫做对命题的否定，但“非 p”绝不是“是”与“不是”的简单表述。一般地，命题是指对事物的性质或事物的存在关系的判定，可以根据判断对象的数量是个体或者是部分抑或是全体，把其分为单称命题、特称命题和全称命题。但必须透彻理解：否定全称得特称、否定特称得全称、否定肯定是否定、否定否定得肯定。在解决实际问题时，应注意命题中是不是省略了表示全称意义的词语，如“全部”“一切”“所有”“任何”等词语。

例：请指出下面的命题是全称命题还是特称命题，写出这些命题的否定形式，并说出这些否定形式的真假，不需要证明。

（1）一个数的最后一个数字是偶数的数能被 4 整除；

（2）对任意实数 a，都有 a2-2a-3<0；

（3）方程 b2-5b-6=0 有一个根是奇数。

分析解答：

（1）这个命题是全称命题。它的否定是：存在末尾数是偶数的数，不能被 4 整除；这个命题的否定是真命题。

（2）这个命题是全称命题。它的否定是：存在实数 a，使得 a2-2a≥0；这个命题的否定是真命题。

（3）这个命题是特称命题。它的否定是：方程 b2-5b-6=0 的两个根都不是奇数；这个命题的否定是假命题。

3.对“或”“且”命题的否定

由“或”“且”词语联结的命题的否定形式：“p 或 q”形式的命题的否定是“非p 且非 q”，“p 且 q”形式的命题的否定形式是“非 p 或 q”。它类似于集合运算中的“C∪（A∪B）= （C∪A）∩（C∪B），C∪（A∩B）=（C∪A）∪（C∪B） ”。

4.常用正面叙述词语及它的否定

（二）如何进行复合命题的真值推理

首先求出复合命题的真值表，结合复合命题的构成，仔细对照真值表，对每一个简单命题的真值情况予确定，再依此推理出新的复合命题的真值。

例：小 D 生病了，小 A、小 B、小 C 三个同学中有一个帮助小 D 完成了工作。当小 D 问起谁做的好事时，小 A 说：“小 B做的。”小 B 说：“不是我做的。”小 C 说：“也不是我做的。”假设知道三个人中有两个人说的是假话，有一个人说的是真话，能判断是谁做的好事吗？

解析：结论有三种可能：（1）如果是小 A 做的，那么三人说话中有二真一假，不合题意；（2）如果是小 B 做的，那么三人中有二真一假，不合题意；（3）如果是小 C 做的，那么三人说话中二假一真，符合题意，所以得到结论是小 C 做的。

（三）逻辑联结词与集合运算的对应关系

设集合 M 和 N 的特征性质分别是 p 和 q，即 M={x|p}，N={x|q}。在全集 U={x|u}的范围内，根据“且”或“或”“非”逻辑联结词的意义，可对集合的交集、并集、补集进行更深更广的认识：

M∩N={x|x∈M 且 x∈N}={x|p∧q}；

M∪N={x|x∈M 或 x∈N}={x|p∨q}；

CUM={x|x∈U 且 xM}={x|┐p}；

CUN={x|x∈U 且 xN}={x|┐q }。

由此可知：

M∩N 的特征性质是 p∧q；

M∪N 的特征性质是 p∨q；

CUM 的特征性质是 ┐p，即 u∧（┐p）；

CUN 的特征性质是 ┐q，即 u∨（┐q）。

由此可见，数学是从生活中来的，同时也为生活服务。特别是逻辑方面，在生活和工作中常常遇见并被运用。透彻理解逻辑学知识并灵活应用逻辑学知识解决问题，既可以体会数学的实用性，又可以感悟数学的乐趣。

【作者简介】龚光剑（1976— ），男，汉族，广西百色人，廣西右江民族商业学校高级讲师。

（责编 卢建龙）