关于“平行线分线段对应成比例”的证明

刘琴

摘要：平行线分线段对应成比例定理是推导三角形相似的性质和判定的预备定理。本文通过面积法将平行线分线段对应成比例的结论由直角三角形到一般三角形，进而再推广到一般的情形。

关键词：平行线；面积；成比例

中图分类号：G648 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2017）02-0144-01

正文：人教版九年级下在讲解平行线分线段对应成比例定理部分用的是度量法，此方法对于线段为整数时，容易测量出，但对于线段不为整数，特别是无理数时，不便测量，而且度量有时可能会有误差。本文用面积法来证明其结论。

（一）预备知识：比例性质

已知ba=dc可得性质①b+aa=d+cc，性质②b-aa=d-cc，性质③b+da+c=ba=dc。

（二）命题1：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，DE∥BC，求证：ADAB=AEAC=DEBC。

证明：用面积法证明，连接DC，BE，如图2.由DE∥BC，△BDE和△BCE等底等高因而SVBDE=SVDCE，則SVABE=SVADC。过点E作EF⊥AB于F。

由面积公式可得12·AB·EF=12·DE·AC，即EFDE=ACAB⑴

且SVADE=12·AD·EF=12·AE·DE，即EFDE=AEAD⑵

由⑴⑵可得ACAB=AEAD，即ACAE=ABAD，由比例性质②，可得AC-AEAE=AB-ADAD即ECAE=BDAD，也有ECAC=BDAB.过D点作DG⊥BC于G，四边形DGCE为矩形，因而DE=GC，由于DG∥AC，由前面的证明可得GCBC=ADAB，因而有DEBC=ADAB，综上可得ADAB=AEAC=DEBC。

（三）命题2：如图3，在△ABD中，EF∥BD，交AB于E，交AD于F，求证：AEAB=AFAD=EFBD。

证明：过A点作AC⊥BD于点D，交EF于点G，如图4，

由命题1可得，在Rt△ABC中，AEAB=EGBC=AGAC，在Rt△ACD中，AFAD=GFCD=AGAC，因而有AEAB=AFAD=EGBC=GFCD，对后面两个式子运用比例性质③可得EGBC=GFCD=EG+GFBC+CD=EFBD，因而有AEAB=AFAD=EFBD。

（四）命题3：如图5，任意两条直线11，12，与另外三条平行直线13，14，15，求证：AEAB=GHGI。

证明：过A点做AD平行于GI交14于F，交15于D，如图6.由于AG∥DI，AD∥GI，因而四边形ADIG是平行四边形，故AD=GI，同理可得在YAFHG中有AF=GH，由命题2可得，AEAB=AFAD，等量代换可得AEAB=GHGI。命题得证。

再由比例性质可得另外的两个结论：AEBE=GHHI，BEAB=HIGI。

参考文献：

[1] 谢贤忠.引导学生知其所以然 . 初中数学教与学，2015，3

[2] 谢裕宏.重视教材"探究活动"，专业自主增设课时. 中学数学，2015，4