LED圆形阵列照度峰值的幂函数拟合研究

刘 沁,刘启能

(1.重庆工商大学 设计艺术学院，重庆 400067；2.重庆工商大学 计算机科学与信息工程学院，重庆 400067)

LED圆形阵列照度峰值的幂函数拟合研究

刘 沁1,刘启能2

(1.重庆工商大学 设计艺术学院，重庆 400067；2.重庆工商大学 计算机科学与信息工程学院，重庆 400067)

利用LED照度公式推导出LED圆形阵列光斑的照度峰值公式，建立了研究LED圆形阵列光斑照度特性的数值计算方法。在此基础上利用拟合方法得出了LED圆形阵列光斑的照度峰值随目标距离、芯片光强以及阵列半径变化的幂函数公式, 这些幂函数拟合公式能够很好地与数值计算结果吻合。利用这些公式能够十分方便地对LED圆形阵列光斑的照度峰值特性进行解析研究，为了研究LED圆形阵列光斑的照度峰值特性建立了一种新方法，弥补了数值计算方法和仿真软件不能对LED圆形阵列光斑的照度峰值特性进行解析研究的缺陷。

发光二极管；圆形阵列；照度峰值；拟合方法；幂函数

引言

LED作为一种新型光源，由于其寿命长、发光效率高已被广泛地应用于各种照明环境，包括大屏幕显示、背光源、汽车和特种照明灯等等。因此在理论上对LED照明特性的研究也越来越受到业内人士的关注[1-5]。文献[6][7]研究了通过自由曲面来重新配光实现LED光源的均匀照明。文献[8]研究了利用自由曲面透镜来实现LED光源的大视场角准直照明。但由于受生产工艺和生产技术的限制，单个LED芯片的功率较小，产生的照度不强，因此限制了单个LED芯片在多数照明领域的应用。为了解决单个LED芯片照度不足的问题，可将多个LED芯片组成LED 阵列用于满足不同照明需要[9-11]的情况。 在LED 阵列中最为典型的是LED圆形阵列和LED方形阵列，文献[12]和文献[13]分别利用粒子群算法和全局优化算法研究了LED圆形阵列和LED方形阵列照度的均匀性问题，得出了LED圆形阵列和LED方形阵列照度的均匀度与阵列结构参数的关系。

关于LED阵列照度特性的研究是一个重要的问题，但目前研究LED阵列照度特性的主要方法是通过数值计算法或仿真软件的计算来得到LED阵列的照度变化特征。而数值计算法和仿真软件只能通过有限的数据点或图形来反映LED阵列的照度随自变量的变化特征，它们不能直接反映出LED阵列的照度随自变量的函数变化规律。因此数值计算法或仿真软件不便对LED阵列照度随自变量的变化规律进行深入的解析分析和研究。由此可见，在理论上建立LED阵列的照度随自变量的函数关系对研究LED阵列的照度规律是十分重要的。为了在理论上解决这一问题，本文将利用单个LED芯片的照度公式推导出LED圆形阵列的照度公式，建立研究LED圆形阵列的照度数值计算方法。在此基础上利用拟合方法得出LED圆形阵列的照度峰值随目标距离、芯片光强以及阵列半径变化的幂函数公式。这一问题的解决为研究LED圆形阵列光斑的照度特性建立了一种新方法，弥补了数值计算方法和仿真软件不能对LED圆形阵列光斑的照度特性进行解析研究的缺陷。

1 模型与理论

单个LED芯片发出的光强I与视角θ满足下列关系[14]：

其中I0为视角为0方向的光强，m值由半角θ1/2决定(半角θ1/2是指光强降为中心光强一半时所对应的视角)。m值与半角θ1/2的关系为

设单个LED芯片在点(X，Y,0)处，目标平面上的照明点P在(x,y,h)处，如图1所示。则单个LED芯片在P点处产生的照度E与光强I满足余弦定律[15]：

图1 单个LED芯片的照度Fig.1 A single chip of illuminance

(3)

式(3)中的l为芯片到P点距离。由式(1)和式(3)可得单个LED芯片在P点处产生的照度为

如果在平面z=0上有N个LED芯片，则在P点处产生的照度为

式(5)中Xn、Yn为第n个LED芯片的坐标。

设计这样一种LED圆形阵列，它由M个等距圆周构成，每个圆周上均匀分布12个LED芯片，相邻两个圆周的间距为d，最小一个圆周距圆心的距离为d，圆形阵列的半径r=Md。该LED圆形阵列的LED芯片数N=12×M。圆形阵列在z=0平面内，其圆心的坐标在(0,0,0)处，x轴和y轴分别与一组径向芯片重合。目标平面为z=h,如图2所示。由于该LED圆形阵列以Z轴为对称轴，所以该LED圆形阵列在目标平面产生的照度分布也是以Z轴为对称轴。由式(5)可得该LED圆形阵列在目标平面上P点(x,y,h)产生的照度为

图2 LED圆形阵列的照度Fig.2 LED circular array of illumination

利用式(6)可以研究LED圆形阵列在目标平面上光斑的照度规律。由对称性可知光斑的照度峰值出现在目标平面上的(0,0,h)处，由式(6)可得光斑的照度峰值E0满足

由式(7)可知LED圆形阵列光斑的照度峰值由目标距离、芯片光强以及阵列半径决定。由式(7)通过数值计算可以得出LED圆形阵列光斑的照度峰值随目标距离、芯片光强以及阵列半径的变化特征。

而式(7)是数值计算公式，它只能通过数值计算得出的一系列数据来反映LED圆形阵列光斑的照度峰值随目标距离、芯片光强以及阵列半径的变化特征，而不能得出照度光斑峰值随目标距离、芯片光强以及阵列半径的函数变化规律。因此式(7)给出的数值计算方法无法对LED圆形阵列光斑的照度峰值进行解析分析和研究。为了弥补数值计算方法的不足，有必要利用函数拟合方法来找出LED圆形阵列光斑的照度峰值随目标距离、芯片光强以及阵列半径的函数变化规律。

通过对LED圆形阵列光斑的照度峰值的变化特征进行幂函数拟合、指数函数拟合、三角函数拟合的试探后发现：幂函数拟合不仅函数关系简单，而且能够很好地与数值计算法得到的结果吻合。下面就介绍LED圆形阵列光斑的照度峰值的幂函数拟合方法。通过大量的试探和比较研究发现，LED圆形阵列光斑的照度峰值的变化规律可以用幂函数表示：

其中x为自变量(它可以为目标距离h、芯片光强或阵列半径r中的任何一个，x选不同的量。式(8)就反映照度光斑峰值随该量的变化规律)。β为拟合变量，通过调整β的大小使式(8)给出的函数曲线与数值计算法得到的数据吻合来确定β的值，具体方法是利用最小二乘法得到最优拟合变量β。b和c为待定系数，由数值计算法得到的初点x1、E01和末点xl、E0l的数据确定，其确定方法是将x1、E01和xl、E0l代入式(8)，解出b和c为：

将式(8)和式(9)称为LED圆形阵列光斑的照度峰值的幂函数拟合法。该方法能够得到光斑的照度峰值的函数变化规律，它弥补了数值计算方法和仿真软件的不足。

由式(8)还可以得到照度峰值与自变量的反函数关系：

式(10)在LED圆形阵列的照明设计中有重要的应用，通过式(10)可以十分方便地计算出不同照度峰值下的目标距离、芯片光强或阵列半径的值，为LED圆形阵列的照明设计提供理论数据。

2 照度峰值的特性

下面利用数值计算法式(6)、式(7)和幂函数拟合法式(8)～式(10)来研究LED圆形阵列光斑的照度峰值随目标距离、芯片光强以及阵列半径的变化规律。

2.1 照度峰值与目标距离的关系

取阵列的芯片总数N=12×10、单个芯片的I0=5 cd、阵列半径r=0.6 m,固定m=30。利用数值计算法式(6)可以计算出目标距离为2 m、5 m、8 m时所对应的光斑照度在目标平面上x轴上的分布曲线，如图3所示。由图3可知：光斑的范围随目标距离增加而逐渐增大，光斑的照度峰值随目标距离增加而迅速减小。由于光斑的照度峰值直接影响LED圆形阵列的照明效果，因此得到照度峰值随目标距离的函数变化规律是十分重要的。

为了得到照度峰值随目标距离的函数变化规，利用数值计算法式(7)计算出目标距离为2 m、3 m、4 m、5 m、6 m、7 m、8 m、9 m时对应光斑的照度峰值E0列在表1中。

表1 目标距离h及对应的光斑照度峰值E0Table 1 The value of h and E0

图3 光斑照度随x的响应曲线Fig.3 Response curves of intensity of illumination versus x

将表1中目标距离所对应的光斑照度峰值E0的8组数据，画在图4中，为8个黑圆点。再将目标距离h和照度峰值E0的初点(h1=2 m、E01=94.777 lx)和末点(hl=9 m、E0l=7.203 5 lx)代入式(9)，确定对应的待定系数b和c：

将b和c代入(9)式得光斑的照度峰值E0随目标距离h的拟合幂函数关系：

E0=bhβ+c

该式中光斑的照度峰值E0不仅是目标距离h的函数，而且E0还受拟合变量β的调制。利用最小二乘法得到最优拟合变量β=-1.397。将β=-1.397代入上述两式得光斑的照度峰值随目标距离的幂函数变化规律：

将式(11)光斑的照度峰值E0随目标距离h的函数关系绘在图4中(实线)，它能很好地通过8个数值计算点。并且计算出该拟合幂函数与数值计算结果的平均相对误差为1.02 %。这表明拟合幂函数与数值计算结果吻合得很好。式(11)就是用幂函数拟合方法得到的LED圆形阵列光斑的照度峰值E0随目标距离h的函数变化规律，通过它能够清晰地反映出光斑的照度峰值E0随目标距离h的函数变化关系，便于对光斑的照度峰值E0随目标距离h的变化规律进行解析研究，这是数值计算方法和仿真软件不能实现的。

图4 照度峰值随目标距离的响应曲线Fig.4 Response curves of the peak of intensity illumination versus target distance

另外由式(11)可以得到目标距离随照度峰值的函数变化规律：

(12)

在照明设计中由式(12)可以方便地计算出当E0=30 lx时其对应的目标距离为4.23 m，当E0=5lx时其对应的目标距离为10.4m，为LED圆形阵列的照明设计提供理论数据。这是仿真软件难以得到的。

2.2 峰值与芯片光强的幂函数关系

仍取阵列的芯片总数N=12×10、m=30，固定目标距离h=2 m、阵列半径r=0.6。利用数值计算法式(6)可以计算出单个芯片的光强I0为2cd、3.5cd、5cd时其对应的光斑照度在目标平面上x轴上的分布曲线，如图5所示。图5可知：光斑的照度峰值随单个芯片的光强增加而增大，光斑的范围随单个芯片的光强增加而无明显变化。由于光斑的照度峰值直接影响LED圆形阵列的照明效果，因此得到照度峰值随单个芯片光强的函数变化规律是十分重要的。

图5 光斑照度随x的响应曲线Fig.5 Response curves of intensity of illumination versus x

为了得到照度峰值随单个芯片光强的函数变化规，利用数值计算法式(7)计算出阵计算出单个芯片的光强I0为2cd、2.5cd、3cd、3.5cd、4cd、4.5cd、5cd、5.5cd时对应的光斑的照度峰值E0列在表2中。

表2 芯片的光强I0和对应的光斑点照度峰值E0Table 2 The value of I0 and E0

利用表2中照度峰值的数据和最小二乘法能够得到照度峰值随单个芯片光强的拟合幂函数变化规律。利用最小二乘法得到最优拟合变量β=1.000。将β=1.000代入式(8)和式(9)得照度峰值随单个芯片光强的幂函数变化规律：

将式(13)照度峰值随芯片光强的函数关系绘在图6中(实线)，它能很好地通过8个数值计算点。并且计算出该拟合幂函数与数值计算结果的平均相对误差为0.004%。这表明拟合幂函数与数值计算结果吻合得很好。

另外由式(13)可以得到芯片光强随照度峰值的函数变化规律：

在照明设计中由式(14)可以方便地计算出要使目标距离h=2 m处的照度峰值E0达到110lx，必须选择芯片光强I0=5.8cd。要使目标距离h=2 m处的照度峰值E0达到130lx，必须选择芯片光强I0=6.9 cd，为LED圆形阵列的照明设计提供理论数据。这也是仿真软件难以得到的。

图6 照度峰值随芯片光强的响应曲线Fig.6 Response curves of the peak of intensity illumination versus chip light intensity

2.3 照度峰值与阵列半径的关系

仍取阵列的芯片总数N=12×10、单个芯片的I0=5 cd，固定目标距离h=3 m、m=30。利用数值计算法式(6)可以计算出阵列半径r为0.2 m、0.8 m、1.4 m时其对应的光斑照度在目标平面上x轴上的分布曲线，如图7所示。图7可知：光斑的范围随阵列半径增加而逐渐增大，光斑的照度峰值随阵列半径增加而逐渐减小。由于光斑的照度峰值直接影响LED圆形阵列的照明效果，因此得到照度峰值随阵列半径的函数变化规律是十分重要的。

图7 光斑照度随x的响应曲线Fig.7 Response curves of intensity of illumination versus x

为了得到照度峰值随阵列半径的函数变化规，利用数值计算法式(7)计算出阵列半径r为0.2 m、0.4 m、0.6 m、0.8 m、1.0 m、1.2 m、1.4 m、1.6 m时对应的光斑的照度峰值E0列在表3中。

利用表3中照度峰值的数据和最小二乘法能够得到照度峰值随阵列半径的拟合幂函数变化规律。利用最小二乘法得到最优拟合变量β=0.799。将β=0.799代入式(8)和式(9)得照度峰值随阵列半径的幂函数变化规律：

将式(15)照度峰值随阵列半径的函数关系绘在图8中(实线)，它能较好地通过8个数值计算点。并且计算出该拟合幂函数与数值计算结果的平均相对误差为1.4%。这表明拟合幂函数与数值计算结果吻合得较好。利用式(15)能够十分方便地研究LED圆形阵列的照度峰值随阵列半径的变化规律。

表3 阵列半径r与照度峰值E0Table 3 The value of r and E0

另外由式(15)可以得到阵列半径随照度峰值的函数变化规律：

在照明设计中由式(16)可以方便地计算出要使目标距离h=3 m处的照度峰值E0得到20 lx，必须使阵列半径=1.81 m。要使目标距离h=3 m处的照度峰值E0为30 lx，必须使阵列半径=1.39 m，为LED圆形阵列的照明设计提供理论数据。这也是仿真软件难以得到的。

图8 照度峰值随阵列半径的响应曲线Fig.8 Response curves of the peak of intensity illumination versus array radius

3 结论

为了得到LED圆形阵列照度随自变量的函数变化规律，利用单个LED芯片的照度公式推导出LED圆形阵列光斑的照度峰值公式，即建立了研究LED圆形阵列光斑照度峰值的数值计算方法。在此基础上利用拟合方法得出了LED圆形阵列光斑的照度峰值随目标距离、芯片光强以及阵列半径变化的幂函数公式。这些幂函数公式不仅函数机构简单，而且能够很好地与数值计算结果吻合。利用这些幂函数公式能够十分方便地对LED圆形阵列光斑的照度峰值特性进行解析研究，加深了对LED圆形阵列光斑照度特性内在规律的认识。并且在LED圆形阵列的照明设计中可以利用这些幂函数公式方便地计算出不同照度峰值下对应的目标距离、芯片光强以及阵列半径，为照明设计提供理论数据。这为了研究LED圆形阵列光斑的照度峰值特性建立了一种新方法，弥补了数值计算方法和仿真软件不能对LED圆形阵列光斑的照度峰值特性进行解析研究的缺陷。

本文建立的LED圆形阵列照度的幂函数方法与现行的数值计算方法和仿真软件相比有一下优点：①幂函数方法将LED圆形阵列照度峰值随目标距离、芯片光强以及阵列半径的变化规律通过幂函数的形式直观、清晰、简洁地表示出来，利用这些公式能够十分方便地对LED圆形阵列的照度峰值规律进行理论研究，这是现行的数值计算方法和仿真软件不具备的。②通过幂函数方法还可以得到目标距离、芯片光强以及阵列半径随照度峰值变化的函数关系，利用这些关系能够十分方便地计算出不同照度峰值对应的目标距离、芯片光强以及阵列半径，为LED圆形阵列的照明设计提供理论数据，这也是现行的数值计算方法和仿真软件不具备的。

[1] DING Y，LIU X，ZHENG Z R，Freeform LED lens foruniform illumination[J]. Optics Express, 2008, 16(17);12958-12966.

[2] 苏宙平, 阙立志, 朱焯炜. 用于LED 光源准直的紧凑型光学系统设计[J]. 激光与光电子学进展, 2012, 49(2): 022203.

[3] SUN C C，CHEN C Y，HE H Y. Precise optical modeling for silicate-based white LEDs[J]. Optics Express, 2008, 16: 20060.

[4] SUN C C，CHIEN W T，MORENO I. Analysis of the far-field region of LEDs[J]. Optics Express, 2009, 17(12): 13918-13922.

[5] WANG K, LIU S，CHEN F，LIU Z Y. Freeform LED lens for rectangularly prescribed illumination[J]. Journal of Optics A-Pureand Applied Optics. 2009, 11(10): 105501-105505.

[6] 丁毅，顾培夫. 实现均匀照明的自由曲面反射器[J].光学学报，2007,27(3)：540-544.

[7] 丁毅，郑臻荣, 顾培夫. 实现LED 照明的自由曲面透镜设计[J].光子学报，2009,38(6)：1486-1490.

[8] 罗晓霞, 刘华, 卢振武, 等. 实现LED 准直照明的优化设计[J]. 2011，40(9): 1351-1355.

[9] WHANG A J W，CHEN Y Y，TENG Y T. Designing Uniform Illuminance Systems by Surface-Tailored Lens and Configurations of LED Arrays[J]. Journal of Dispersion and Technology, 2009, 5:94-103.

[10] QIN Z，WANG K，CHEN F. Analysis of condition for uniform lighting generated by array of light emitting diodes wit large view angle[J]. Optics Express, 2010, 18: 17460-17476.

[11] SU Zhouping，XUE Donglin，JI Zhicheng. Designing LED array for uniform illumination distribution by simulated annealing algorithm[J]. Optics Express, 2012, 20(S6): 843-855.

[12] 王加文，苏宙平，袁志军，等. LED 阵列模组化中的照度均匀性问题[J]. 光子学报,2014,43(6):919-924.

[13] 赵芝璞，季凌燕，沈艳霞，等.基于PSO 粒子群算法的LED 照明系统光照均匀性研究[J].发光学报，2013,34(12)：1677-1681.

[14] 刘沁，刘启能.圆形LED阵列的照度特性及其应用[J]. 激光杂志,2014,35(6):21-23.

[15] 姚家祎.照明设计手册(第二版)[M].北京：中国电力出版社，2006：187-188.

Power Function Fitting Methods of the Illumination Peak of LED Circular Array

LIU Qin1， LIU Qineng2

(1.InstituteofDesignandArt,ChongqingTechnologyandBusinessUniversity,Chongqing400067,China;2.CollegeofComputerScienceandInformationEngineering,ChongqingTechnologyandBusinessUniversity,Chongqing400067,China)

Using LED illumination formula, the light spot illumination peak formula of LED circular array is deduced. Using fitting method, the power function formula of the illumination peak with target distance and chip light intensity and array radius are obtained, and these formulas can be quite good agreement with the numerical calculation results. Using these formulas can be easily analytical study on the illumination peak characteristics of LED circular array. To study the illumination peak characteristics of LED circular array set up a new method. It makes up for the defects that numerical method can’t analytical study the illumination peak characteristics of LED circular array.

LED; circular array；illumination peak；fitting method；power function

重庆市教委科技项目基金资助项目(KJ130713) 通信作者：刘沁，E-mail：liuqinecho@163.com

O435; O432.2

A

10.3969/j.issn.1004-440X.2017.02.021