椭圆问题 定义先行

■河南省潢川县高级中学高三(24)班 曹 婧

同学们求解椭圆问题时,莫忘椭圆定义。椭圆定义,能让我们化难为易,化繁为简,轻松解题,可谓椭圆问题,定义先行。

一、利用定义求椭圆方程

(2)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C,则曲线C的标准方程为____。

解析：(1)椭圆=1的焦点为(0,-4),(0,4),即c=4。

(2)由已知得:圆M的圆心为M(-1,0),半径r1=1;圆N的圆心为N(1,0),半径r2=3。

设圆P的圆心为P(x,y),半径为R。

因为圆P与圆M外切并且与圆N内切,所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4。

由椭圆的定义可知,曲线C是以M、N为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长为 3的椭圆(左顶点除外),其方程为1(x≠-2)。

评注:解决此题的关键是妙用椭圆的定义,此种解法最大的好处是可以减少计算量。

二、利用定义求解焦点三角形的有关问题

解析：(1)由椭圆定义知,|PF1|+|PF2|=2a,故△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c=16。

评注:椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”,可利用椭圆定义求其周长,也可利用椭圆定义和余弦定理求|PF1|·|PF2|,还可通过整体代入求其面积。

三、利用定义求与椭圆有关的最值问题

设F1、F2分别是椭圆1的左、右焦点,P为椭圆上任一点,点M的坐标为(6,4),则|PM|+|PF1|的最大值为_____。

解析：由题意知|PF1|+|PF2|=10,即|PF1|=10-|PF2|,所以|PM|+|PF1|=10+|PM|-|PF2|。

由于点M在椭圆外,连接MF2并延长交椭圆于P点,此时|PM|-|PF2|取最大值|MF2|。

|PM|+|PF1|的最大值为10+|MF2|=15。

评注:利用椭圆定义,可以将其中一个焦半径用另一个焦半径表示,以便更好地从图形中发现取得最值时P点的位置。