椭圆知识结构与拓展

2017-04-28河南南阳市一中郑书芬

中学生数理化(高中版.高二数学) 2017年12期

关键词：余弦定理定值焦点

■河南南阳市一中郑书芬

一、知识结构框架

二、实例分析

题型一：椭圆的定义及其简单性质

已知焦点在x轴上的椭圆1的离心率是e,且,则实数m的取值范围为_____。

解：因为椭圆=1的焦点在x轴上,所以0＜m＜2。因为e,所以e。因为所以＜1,解得0＜m所以实数m的取值范围为

点评:求与离心率范围有关的问题,关键是找出a、b、c满足的关系式,然后转化成关于e的方程或不等式进行求解,同时要注意隐含条件e∈(0,1)。

题型二：椭圆的标准方程

椭圆中心是坐标原点,长轴在x轴上,离心率,已知点到椭圆上的点的最远距离是7,求这个椭圆的标准方程。

解：设所求椭圆方程为1(a＞b＞0)。

因为,所以a=2b,于是椭圆方程化为=1。

设椭圆上的点M(x,y)到点P距离为d,则d2=x2+=4b2+y2-3y+=-3+4b2+3。

对f(y)=-3+4b2+3的最值情况进行讨论:

(1)当-b≤-,即b≥时,=4b2+3=7⇒b=1,椭圆标准方程为=1;

(2)当＜-b,即b＜时,=f(-b)=7⇒b=7,与矛盾。

综上所述,当y=时,有=4b2+3=7,b=1。

故所求椭圆方程为+y2=1。

点评:(1)利用离心率确定a与b的关系。(2)利用最值进一步确定b的值。(3)由椭圆方程=1(a＞b＞0)得-b≤y≤2b,由d2=-(y )+4b2+3知d2是y的二次函数,其对称轴为y=,故应就二次函数对称轴与区间[-b,b]的位置关系进行讨论。本题容易在求最值时忽视b的范围而没有加以讨论,导致解题过程出错。

题型三：焦点三角形

设P为椭圆=1(a＞b＞0)上任意一点(不在x轴上),F1,F2为焦点,且∠F1PF2=θ,证明:

(1)△F1PF2的周长为定值2a+2c;

(2)在△F1PF2中,有S△F1PF2=b2·

(3)在△FPF中,有cos1=1-2e2,并且点P在y轴上时θ角的张角最大。

证明：(1)△F1PF2的一边长为焦距2c,另两边的和为定值2a,所以周长为定值2a+2c。

(2)记|PF1|=r1,|PF2|=r2,由椭圆的第一定义得,r1+r2=2a,故(r1+r2)2=4a2。

在△F1PF2中,由余弦定理得-2r1r2cosθ=(2c)2。

配方得(r1+r2)2-2r1r2-2r1r2cosθ=4c2,即4a2-2r1r2(1+cosθ)=4c2。

由任意三角形的面积公式得:

(3)设|PF1|=r1,|PF2|=r2,则在△F1PF2中,由余弦定理得:

当且仅当r1=r2,即点P在y轴上时cosθ取得最小值,而角θ取得最大值。

点评:(1)利用椭圆的定义求周长。(2)利用正、余弦定理相结合求解面积。(3)通过本例要掌握以下结论:①椭圆上一点和两焦点组成的三角形叫焦点三角形,有一个角为直角的焦点三角形叫焦点直角三角形;②椭圆中 S△F1PF2=b2tan;③ 在椭圆的△F1PF2中,有cosθ-1=1-2e2,并且点P在y轴上时θ角的张角最大。

跟踪练习：

1.求过点 (),且与椭圆=1有相同焦点的椭圆的标准方程。