碰撞过程动能损耗的定量分析

赵元晟,高 渊,乐永康,原 媛

(复旦大学 物理学系,上海 200433)

碰撞过程动能损耗的定量分析

赵元晟,高 渊,乐永康,原 媛

(复旦大学 物理学系,上海 200433)

使用高速摄像机拍摄碰撞打靶实验中两球的运动过程，使用Tracker视频分析软件对撞球和被撞球的运动轨迹进行分析，得到了整个碰撞过程的具体数据及运动图像，进而定量分析了各个阶段的能量损失.

碰撞打靶；视频分析；能量损失；Tracker；Origin

碰撞分为弹性碰撞和非弹性碰撞，两者区分的依据是：是否存在动能损耗. 实验上，动能损耗评定的一种办法是利用频闪照相分析照片中的物体运动轨迹得到物体在各处的即时速度[1]，但此方法的实验过程比较繁杂，在实验教学中使用越来越少了；另一种办法是通过类似碰撞打靶[2]这样的实验设计，从被碰物体运动轨迹的落点位置等信息来倒推碰撞后物体的运动速度，显然，这种间接法很难全面计入被碰物体在后续运动中的各种阻力、入射球在碰撞后的速度等对结果的影响.

近年来，Tracker等视频分析软件在实验教学中得到了越来越多的应用[3-6]. 利用Tracker可以将运动视频分解一帧一帧的图片，根据物体在每一帧画面中的位置和帧与帧之间时间间隔来确定物体运动的速度，进而为验证能量守恒或者动力学过程的动能损耗提供可能. ，学生可以通过智能手机在任何时间、任何地点拍摄实验视频，利用Tracker软件探究物体的运动过程等内容，有利于学生更扎实地掌握运动学等相关的内容. 使用高速摄像机(250FPS)录制碰撞打靶实验的视频，借助Tracker分别对撞球和被撞球的运动轨迹进行数据采集[7-10]，利用Origin软件对测量结果进行详尽地数据分析，得到了实验中各个阶段能量损失的量化分布.

1 实验原理

实验装置如图1所示，撞击球m1从初始高度h被释放，当其沿弧线运动至最低点时与初始高度为y的被撞球m2发生正碰，此后被撞球做平抛运动，水平位移为x. 根据机械能守恒和动量守恒定律，2球发生弹性碰撞，有

(1)

实验中，要求学生可以根据前一次实验被撞球实际落点的水平位移x′计算实验过程中的“能量损失”ΔE:

(2)

并以此修正撞击球的初始高度以补偿体系所损失的能量，直至被撞球落入靶纸上10环所在位置(水平位移x处)，实验结束.

图1 实验装置示意

2 利用Tracker软件采集小球运动轨迹

实验使用250FPS高速摄像机拍摄从撞击球释放到被撞球平抛运动击中靶台的整个过程. 拍摄过程注意了摄像机正对装置，且距离不过近(保证拍摄到的影像相对实际物体的变形是微小的). 摄像机的拍摄速率较高，能满足整个过程有足够多的数据，以提高精度.

实验用铁球作为撞击球，质量为28.1 g；相同直径的铝球作为被撞球，质量10.0 g. 实验所用摄像机250帧/s，即画面间时间间隔为4.00 ms. 视频拍摄完成后，导入Tracker 4.92，以实验仪器自带竖直标尺进行标定，使得视频图像中的长度与实际的尺寸相对应. 使用软件的自动标记功能可自动得到2个小球的x(t)和y(t)(位移-时间)关系，再利用Origin对原始数据作进一步分析.

2.1 运动轨迹分析

r=(0.051 92+0.000 15)m,

x0=(0.002 12+0.000 08)m,

y0=(0.228 1+0.000 4)m.

图2 运动轨迹

由拟合结果可以看出撞击球运动轨迹确为圆弧的一部分，图2给出了撞击球在[-50°,30°]范围内的运动轨迹，从拟合结果可以看出拍摄过程中的畸变可视为小量.

将Tracker所得一次碰撞过程中撞击球和被撞球的x(t)和y(t)数据导入Origin，可以绘得运动过程中两球的运动轨迹(如图3所示).

图3 两球运动轨迹

对实验视频进行逐帧分析，视频分析窗口如图4(a)所示，可以得到两球开始撞击的时间为3.900 s，撞击结束的时间为3.916 s.

(a)碰撞开始时

(b)碰撞结束时图4 视频图像

将被撞球从碰撞结束时3.916 s至击中靶台时间内的x(t)和y(t)数据导入Origin，并分别进行拟合. 竖直方向上，小球作自由落体运动；水平方向上，小球作匀速直线运动. 考虑到空气阻力的影响，认为竖直方向上位移y与时间t的关系应是P次曲线，选用y=y0+A(t-t0)P作为拟合方程，拟合结果为

y0=(0.000 89+0.000 10) m,

t0=(3.914 01+0.000 12) m,

A=4.78,P=2.

由拟合结果可以看出，被撞球竖直方向上的运动是准确的二次曲线关系，拟合得到的碰撞结束时间(3.914 s)与观看视频所得时间(3.916 s)一致(视频分析的最小时间间隔是0.004 s)，且可以得到重力加速度g=2A=9.56 m/s2，相对偏差2.4%(取上海地区重力加速度9.794 m/s2). 其水平方向上的运动可以使用线性方程x=x0+vxt进行拟合. 拟合结果为

x0=-5.679 m,

vx=(1.454 2+0.001 5) m/s.

2.2 能量分析

将被撞击球球心初始位置的水平面定义为零重力势能面. 运动小球的总能量为

(3)

其中，m为球的质量，g为重力加速度，Δh为距离零势能面的高度差，vx和vy分别为小球在水平方向和垂直方向上的速度.

Origin对碰撞过程中撞击球和被撞球的x(t)和y(t)数据作差分处理，即可得2球各自的vx(t)以及vy(t)，代入式(3)即可得到两球的E-t关系，计算结果如图5所示.

(a)撞击球

(b)被撞球图5 撞击球和被撞球的能量与时间关系图

从能量-时间关系图中可以看出：

1) 撞击球从释放到碰撞前损耗的能量为

ΔE1=(0.018 77-0.017 6) J≈1.2×10-3J.

2) 两球碰撞时(3.904～3.916 s)，损耗的能量为：

ΔE2=(0.017 55-0.005 771-0.010 43) J≈

1.4×10-3J.

3) 碰撞结束后，被撞球的能量损失很小.

4) 总的能量损失为：

ΔE=ΔE1+ΔE2=2.6×10-3J.

由以上分析可得碰撞过程的能量分布如图6所示. 整个过程中损失的能量占初始总能量的14%，其中碰撞前的能量损失为6.5%，碰撞时的能量损失7.2%.

图6 整个碰撞过程的能量分布图

3 结束语

视频分析软件Tracker可以对运动过程中的物体进行精确定位和跟踪，给出物体的运动轨迹. 利用数据处理软件Origin对物体的位移-时间数据进行差分处理，可以轻松得到运动过程中的能量分布. 将这2种软件应用到碰撞实验中，可以直观地得到各运动小球的轨迹、动量、能量等物理量随时间的变化关系，为碰撞过程的能量损失分析提供了大量的数据支持，能更好地帮助实验者理解碰撞过程所涉及的力学规律和定理定律.

[1] 张景泉. 非对心碰撞[J]. 辽宁师院学报(自然科学版),1981(3):77-81.

[2] 沈元华，陆申龙. 基础物理实验[M]. 北京：高等教育出版社，2003：29.

[3] Wee Loo-Kang, Tan Kim-Kia, Leong Tze-Kwang, et al. Using Tracker to understand ‘toss up’ and free fall motion: a case study [J]. Physics Education, 2015,50(4):436-442.

[4] 吴志山. 让真实定量、定格——Tracker软件在物理教学中的应用[J]. 物理教师，2012，33(7):53-54.

[5] 李玉峰,熊建文,杨友源． 视频分析软件在物理实验中的应用[J]． 实验室研究与探索，2009，28(4):62-64.

[6] 王仁泉. 巧用数码相机使运动定格[J]． 物理实验，2008,28(9):21-22.

[7] 陈泽君,程敏熙. 基于 tracker 和 python 的物理建模方法——以研究抛体运动的阻力变化为例[J]. 大学物理实验，2015，28(3):84-87.

[8] 贾昱，程敏熙，安盟，等. 基于视频分析软件 Tracker 测量刚体转动惯量[J]. 物理实验，2014，34(5):33-35.

[9] 吴肖,朱道云,胡峰,等. 利用视频分析软件 Tracker 研究皮球的弹跳[J]. 物理实验，2013，33(7):40-41.

[10] 丁晓彬，董晨钟. 基于2D开源视频分析和建模软件Tracker 研究抛体运动实验[J]． 大学物理，2012,31(7):34-36.

[责任编辑：郭 伟]

Quantitative analysis of energy loss in a collision process

ZHAO Yuan-sheng, GAO Yuan, LE Yong-kang, YUAN Yuan

(Department of Physics, Fudan University, Shanghai 200433， China)

High speed video recorder was used to trace the motion of the two balls in the experiment of target hitting through collision. With the help of video analysis software Tracker, the position of the balls in each moment was obtained. With the further obtained speed of the balls before and after the collision, the energy loss of the collision process could be analyzed quantitatively.

target hitting through collision; video analysis; energy loss; Tracker; Origin

2016-05-30

赵元晟(1996-),男，浙江杭州人，复旦大学物理学系2014级本科生.

原 媛(1982-),女，山西长治人，复旦大学物理学系工程师，硕士，从事理论物理数值计算及物理实验教学.

O313.4

A

1005-4642(2017)04-0044-04

“第9届全国高等学校物理实验教学研讨会”论文