图形变换让四边形更精彩

陈志军

图形变换让四边形更精彩

陈志军

初中阶段图形变换一般有平移、翻折、旋转三种形式，中考对特殊四边形的考查常借助于图形变换将一些条件隐藏其中.因此，同学们在解题时要将图形变换与特殊四边形的性质判定理解掌握，方能有效地解决此类问题.

一、旋转变换中的四边形

例1（2016·娄底）如图1，将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A1BC1的位置，AB与A1C1相交于点D，AC与A1C1、BC1分别交于点E、F.

（1）求证：△BCF≌△BA1D.

（2）当∠C=α度时，判定四边形A1BCE的形状并说明理由.

（2）四边形A1BCE是菱形.

理由：∵∠C=∠A=α，

∴∠ABC=180°-2α，

∵∠A1BC=180°-2α+α=180°-α，

∴∠A1+∠A1BC=180°，∠C+∠A1BC=180°，

∴A1E∥BC，A1B∥CE，

∴四边形A1BCE是平行四边形，

∵A1B=BC，

∴▱A1BCE是菱形.

【点评】本题考查了旋转变换的性质即旋转前后的图形全等，还考查了平行四边形和菱形的判定定理.

小试身手1.如图2，已知△ABC中，AB= AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F.

（1）求证：△AEC≌△ADB；

（2）若AB=2，∠BAC=45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长.

图1

【解析】（1）根据等腰三角形的性质得到AB=BC，∠A=∠C，由旋转的性质得到A1B=AB= BC，∠A1=∠A=∠C，∠A1BD=∠CBC1，根据全等三角形的判定定理得到△BCF≌△BA1D；

（2）由∠C=∠A=α，得到∠ABC=180°-2α，由旋转角α度得到∠A1BC=180°-2α+α=180°-α，证得四边形A1BCE是平行四边形，由于A1B= BC，即可得到四边形A1BCE是菱形.

【解答】（1）略；

图2

二、翻折变换中的四边形

例2（2016·新疆生产建设兵团）如图3，在▱ABCD中，AB=2，AD=1，∠ADC=60°，将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕交CD边于点E.

（1）求证：四边形BCED′是菱形；

（2）若点P是直线l上的一个动点，请计算PD′+PB的最小值.

图3

【解析】（1）利用翻折变换的性质得出∠D=∠AD′E，AD=AD′=1,根据平行四边形性质得出∠D=∠B，得出∠AD′E=∠B，从而得出D′E∥BC；又根据D′B∥EC得到四边形BCED′是平行四边形.根据折叠和平行四边形的性质得到BC= BD′=1，然后根据菱形的判定定理得到结论.

（2）如图4，由四边形DAD′E是平行四边形，得到▱DAD′E是菱形，推出D与D′关于AE对称，连接BD交AE于P，则BD的长即为PD′+ PB的最小值，过D作DG⊥BA于G，解直角三角形得到AG=，DG=，根据勾股定理即可得到结论.

【解答】（1）证明：由轴对称的性质得：

△AD′E≌△ADE，

∴∠D=∠AD′E，AD=AD′=1.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠D=∠B，AB∥CD，AD=BC=1，

∴∠AD′E=∠B，∴D′E∥BC，

∴四边形BCED′是平行四边形.

∵AB=2，AD=1，

∴D′B=BC=1，

∴▱BCED′是菱形.

（2）∵四边形DAD′E是菱形，∴D与D′关于AE对称.

连接BD交AE于P，则BD的长即为PD′+ PB的最小值.

过D作DG⊥BA于G，∵CD∥AB，

∴∠DAG=∠CDA=60°，∵AD=1，

图4

【点评】（1）考查了翻折变换的两个图形成轴对称、成轴对称的两个图形全等的性质，还考查了平行四边形的性质与判定、菱形的判定.（2）考查了菱形的轴对称性质和最短距离问题，正确作出辅助线是解题的关键.

小试身手2.如图5，将矩形纸片ABCD（AD＞AB）折叠，使点C刚好落在线段AD上，且折痕分别与边BC，AD相交，设折叠后点C，D的对应点分别为点G，H，折痕分别与边BC，AD相交于点E，F.

图5

（1）判断四边形CEGF的形状，并证明你的结论；

（2）若AB=3，BC=9，求线段CE的取值范围.

（作者单位：江苏省宝应县实验初级中学）

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