找准错因优化策略

何宁

找准错因优化策略

何宁

2016年中考数学命题中，全等三角形、等腰三角形、直角三角形的考查难度（综合性）有所提升.本文以2016年中考试题为例，谈一谈同学们在解答此类问题时易出错的知识点.

一、条件利用不足

例1（2016·南京）如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABO≌△ADO，下列结论：

①AC⊥BD；②CB=CD；③△ABC≌△ADC；④DA=DC，其中正确结论的序号是.

图1

【错解】②③，漏掉①.

【解析】本题考查三角形全等的判定与性质.

由△ABO≌△ADO得：

AB=AD，∠AOB=∠AOD=90°，

∠BAC=∠DAC，又AC=AC，

所以△ABC≌△ADC，CB=CD，

所以，①②③正确.

另外此图中由于AO不一定等于CO，所以④不能选.

解题策略：充分分析已有条件，正面推理不易，可以假设成立，进而反证.

二、常见结论不熟

例2（2016·苏州）如图2，在△ABC中，AB=10，∠B=60°，点D、E分别在AB、BC上，且BD=BE=4，将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE（点B′在四边形ADEC内），连接AB′，则AB′的长为.

图2

【错因】1.没有发现△BDE、△B′DE是等边三角形；2.误认为△ABC等边；3.不知道构造直角三角形求解.

【解答】解：如图3，作DF⊥B′E于点F，

图3

例3（2016·荆州）如图4，将一张直角三角形ABC纸片沿斜边AB上的中线CD剪开，得到△ACD，再将△ACD沿DB方向平移到△A′C′D′的位置，若平移开始后点D′未到达点B时，A′C′交CD于E，D′C′交CB于点F，连接EF，当四边形EDD′F为菱形时，试探究△A′DE的形状，并判断△A′DE与△EFC′是否全等，请说明理由.

图4

【错解】不少同学理不清条件、结论，找不到思路，还有一些同学把结论当作条件用，最后再证题目要求的结论，这是典型的循环论证.

【解析】本题考查平移、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型.解题过程如下：

当四边形EDD′F为菱形时，△A′DE是等腰三角形，△A′DE≌△EFC′.

解题策略：平移翻折出全等，直角中线有一半，线段相等找全等.

三、方法使用不当

例4（2016·内江）已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为（）.

【错解】D.不少同学认为P为任意一点，应该有无数种情况.

【解析】如图5，△ABC是等边三角形，AB= 3，点P是三角形内任意一点，过点P分别向三边AB，BC，CA作垂线，垂足依次为D，E，F，过点A作AH⊥BC于H，则BH=，

解题策略：求线段，找勾股；距离变成高，面积来帮忙.

四、类比应用不会

例5（2016·内江）问题引入：

（1）如图①，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A=α，则∠BOC=（用α表示）；如图②，∠CBO=∠ABC，∠BCO=∠ACB，∠A=α，则∠BOC=（用α表示）.

图6

类比研究：

（3）BO，CO分别是△ABC的外角∠DBC，∠ECB的n等分线，它们交于点O，∠CBO=·∠DBC，∠BCO=∠ECB，∠A=α，请猜想∠BOC =.

【错解】第（3）题无法解决.原因：（1）（2）题运用内角和知识解决，第（3）题转换成外角，不少同学未能灵活转换.

解题策略：三角形内角和等于180°，或者三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.大胆使用代数方法，类比运用学习过的常见结论，往往可以轻松得解.

小试身手

1.（2016·西宁）如图7，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.若AE=1，则FM的长为_____.

图7

2.（2015·菏泽）如图8，已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC.

（1）如图8，过点A作AF⊥AB，并截取AF= BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF的形状并证明；

图8

图9

（2）如图9，E是直线BC上一点，且CE= BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由.

3.（2016·西宁）如图10，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰直角△ABC，使∠BAC=90°，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图像大致是（）.

图10

（作者单位：江苏省东台市唐洋镇中学）

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